黄磊
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个人信息Personal Information

副教授

硕士生导师

电子邮箱:yellones@163.com

入职时间:2015-08-28

所在单位:数学学院

学历:博士研究生毕业

办公地点:交大犀浦校区第三号教学楼30467室

性别:

职称:副教授

在职信息:在岗

毕业院校:新加坡国立大学

学科:数学
统计学

教师博客

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关于充分完全统计量的一点儿思考

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       我这学期主讲2019级本科生的《数理统计》专业课,前不久讲完充分统计量这一节,有些思考和大家分享。我和同事用的教材是茆诗松老师的《概率论与数理统计》(第三版), 由于自己当年读大学时用的是韦来生老师的《数理统计》,因此也参考了一下。韦老师的书有讲完全(完备)统计量,于是自己也给班上的同学补充了该知识点。但是,我发现用经典的定义、定理、例题模式教学之后,学生对充分性和完全性消化不透,于是突发奇想,想到了用核桃作比喻,发现效果还不错,这里和大家分享一下。

       本质上,一个基于样本的统计量, 它的最终目的是去估计某个未知参数,那么该统计量里面所能包含的未知参数θ的有用信息,就是我们需要的“精华”。因此,“取其精华”就是指尽可能充分地保留未知参数θ的有用信息。同理,一个样本中可能会包含关于未知参数θ的冗余信息,如果能完全地去除这些冗余信息,就是“去其糟粕”所体现的思想。因此,一个既充分又完全的统计量,即充分完全统计量,就是指既能充分保留关于参数的有用信息,又能完全剔除关于参数的冗余信息,这便是“取其精华,去其糟粕”含义所在。下面,我们根据如下一张核桃图来详细说明如何用“取其精华,去其糟粕”诠释充分完全统计量。

       我们不妨把关于参数θ的有用信息比作核桃仁,把关于参数θ的冗余信息比作核桃壳。那么“取其精华,去其糟粕”的过程就直白得变成了剥掉核桃壳吃核桃仁的过程。每位同学都有吃核桃的亲身经历,我们当然希望尽可能多得吃到核桃仁,并尽可能不吃到核桃壳。所以充分性可以比喻为充分地保留核桃仁(参数θ的有用信息)。那么,一旦给你一个核桃(样本),你不用任何工具(函数)对它进行加工,则里面的核桃仁(参数θ的有用信息)是充分保留的,所以样本就是一个未经过任何加工的充分统计量。

       换一个角度,我们来认识完全性,即完全去掉参数θ的冗余信息,我们把参数θ的冗余信息比作核桃壳,那么当我们已经完全去掉核桃壳(参数θ的冗余信息),如果再用某种工具(实函数g(.))对其进行加工,所得之物(g(T))仍然完全地去掉了核桃壳(参数θ的冗余信息)。通过以上方式来讲解充分性和完全性,可以帮助同学们记忆它们的定义、定理,也可以帮助同学们形象地理解充分性和完全性之间的关系。

       讲到最后,我们再举一个例子, 设X=(X_1,⋅⋅⋅,X_n )为从总体N(0,σ^2 )中抽取的简单样本,则

                                                                 T(X)=X_1-X_2 ,

既不是参数σ^2的完全统计量,也不是参数σ^2的充分统计量。按照定义,很容易验证。那么用我们所提出的思想来进行阐述,就可以描述为,通过对样本进行加工得到的这个统计量T(X),既丢失了核桃仁(参数σ^2的有用信息),又不能把核桃壳(参数σ^2的冗余信息)去干净。

       由于本人知识有限,这点儿教学探索可能会存在缺陷,还请各位读者斧正。