我来从概率论的角度说一下Borel集的意义吧。首先回忆一下概率空间的定义，概率空间是一个三元组，样本空间、事件的集合、概率。我们的概率函数是定义在事件上的，而不是定义在样本空间上的。概率的定义必须满足几个性质，也就是Kolmogorov公理。

逐点收敛也称点态收敛，是数学中描述一组函数序列向一个函数趋近的一种方式。详细点讲，如果这组函数叙列在定义域中每点的取值都会趋于一个极限值，这时可以用每点的极限来定义这组函数序列的极限函数，被趋近的这个极限函数称作这个函数叙列的逐点极限。

定义Lebesgue-Stieltjes测度，从外测度到Lebesgue-Stieltjes测度

可测集、可测集的性质、常见的可测集、Borel集、勒贝格可测集的结构

简单函数又称单纯函数，（英语：simple function），在数学的实分析中是指值域只有有限个值的实函数，类似阶梯函数。有些作者要求简单函数是可测的，因为在实际应用上，特别在讨论勒贝格积分时，必须是可测函数，要不然积分的定义没有意义。

有外测度，那有没有内测度 (inner measure)呢？还真有，但是在测度的构造中，内测度不是必须的，这边简单介绍一下。外测度试图从集合的外面向内逼近，而内测度则是从集合的里面向外逼近。

外测度的基本想法是用一些形状良好的，已经定义了类似测度概念（称为类测度）的集合去尽可能“小”的覆盖其他集合，然后用这些集合的”类测度“的和作为被覆盖集合的外测度。

第1节会介绍一下外测度，第2节会引入最重要的一个测度：一维的Lebesgue测度。第3节则是介绍更多Lebesgue测度相关的结论跟例子。当然，我们会发现Lebesgue测度无法测量实数的所有子集，第4节中我们会给出不可测集。

集合是测度论的基础，随着康托尔集的出现为数学带来了新的变化和危机，我们对集合、无穷、无穷小的概念的定义和理解对数学这座大厦产生了深远的影响。