数学分析之拉格朗日余项与误差

拉格朗日余项与误差

• 拉格朗日余项
• 拉格朗日误差界
• 例题
• 交错级数
• 拉格朗日插值余项

拉格朗日余项

拉格朗日余项和泰勒公式密不可分。泰勒级数的全形如下： $$\begin{aligned} f(x)&=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dotsb+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\dotsb \\ &=\sum^{\infty}_{n=0}\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n \end{aligned}$$ 其中，前n项可以称为函数在点$x=a$处的$n$阶泰勒展开式。所谓的阶，是指$x$的幂次；$n$阶就是$x$的最高次幂为$n$，而不是展开到第$n$项。

但是，泰勒展开能够无限地逼近原函数，是以n趋向于无穷为前提条件的。如果我们只是将函数展开到n阶，则后面的部分（我们称为余项, remainder）就被省略了，这必然会产生误差。记余项的表达式为$R_n(x)$，用它表示n项之后的余项（注意下标是 n 而不是 n+1），我们可以将泰勒展开写成如下形式: $$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\dotsb+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+R_n(x)$$ 或者说 $$f(x)=P_n(x)+R_n(x)$$ 这式子的意思是原函数可以分解为两个部分，一部分是 n 阶泰勒展开，另一部分就是拉格朗日余项。那么，做一个移项，就可以有：$R_n(x)=f(x)-P_n(x)$。

这就是说，用n阶幂级数来逼近原函数，其误差就是这一余项。而拉格朗日余项就是表达这些被省略部分的一个公式，我们可以用它来估计误差。为此，我们先写出函数的第 n+1 阶展开式： $$\frac{f^{(n+1)}(a)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}$$ 而拉格朗日余项（在具体题目中，我们也称为拉格朗日误差界 Lagrange Error Bound） 在形式上就类似于函数的第 n+1 阶，其表达式如下： $$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},c在x与a之间。$$ 需要注意的是，c只是在x与a之间，可能是$x\le c\le a$，也可能是$a\le c\le x$。同时，拉格朗日余项定理像微分中值定理（Mean Value Theorem）、介值定理（Intermediate Value Theorem）一样，都是存在性定理，即只能告知值的存在（我们知道有这样一个值），但不能告知其具体位置（但不知道它到底是多少）。如果我们使用麦克劳林式（Maclaurin Series，即$a = 0$时的特殊形式），就可以将拉格朗日余项变成较简单的形式: $$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1},c在x与0之间。$$

拉格朗日误差界

观察拉格朗日余项定理的形式，对于给定$a、n和x$的情况下，如果要确定这个余项的界限，唯一要确定的就是前面的这个第 n+1 阶导数的取值范围。若令有正数$M=|f^{(n+1)}(c)|$，则只需要确定M的范围，那么，整个余项的范围也就唯一给定了。由于误差值可能为正，也可能为负，为便利讨论，我们一般都取其绝对值进行考查，即 $$\begin{aligned} |R_n(x)|&=|\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}| \\ &=\frac{M}{(n+1)!}|(x-a)^{n+1}| \end{aligned}$$ 而对于麦克劳林式，我们就变成考查： $$\begin{aligned} |R_n(x)|&=|\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}x^{n+1}| \\ &=\frac{M}{(n+1)!}|x^{n+1}| \end{aligned}$$ 这时我们就要介绍一个基本定理，即拉格朗日余项定理：

若存在正数Max，使得对任意$\xi$，如果$a \le \xi \le x$或$x \le \xi \le a$，均有$|f^{(n+1)}(\xi)|\le M$，则: $$|R_n(x)|=|\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}| \le \frac{M}{(n+1)!}|(x-a)^{n+1}|$$ 也就是说$M$的取值范围其实就由$|f^{(n+1)}(\xi)|,(a \le \xi \le x$或$x \le \xi \le a)$唯一给定。这一不等式也叫泰勒不等式。这是我们进行余项范围估计的主要理论基础。

例题

例1 将$y=sin(x)$展开成麦克劳林式，并估计其误差：

根据基本公式：$sin(x)=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\dotsb+(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}+\dotsb$，很容易得出5阶麦克劳林式：$sin(x)\approx x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5$

其余项按照拉格朗日余项定理，可以写成（注意：5阶的余项是6次方）： $$R_5(x)=\frac{f^6(c)}{6!}x^6,c在0和x之间$$ 而$|f^6(x)|=|-sin(x)| \le 1$，所以$R_5(x) \le \frac{x^6}{6!}$。

例2 将$y=sin(x)$展开成麦克劳林式，据此估计sin 0.2的值，并计算其误差。

使用例1结论：$sin(0.2)\approx 0.2-\frac{1}{3!}(0.2)^3+\frac{1}{5!}(0.2)^5 \approx 0.1986693333$

同时，$R_5(0.2) \le \frac{0.2^6}{6!}=8.888889*10^{-8}$

交错级数

在一些情况下，使用交错级数计算误差相对简单，其基本定理如下：

若交错级数$\sum^{\infty}\limits_{n=0}u_n=\sum^{\infty}\limits_{n=0}(-1)^{n+1}(v_{n})$满足以下条件：

1. 正项递减，即$0\le v_{n+1} \le v_n;$
2. 正项趋零，即$\lim\limits_{x \to +\infty}v_n=0$

则必有其余项的范围$|R_n(x)|=|S-S_n|<|u_{n+1}|=v_{n+1}$

其中，S表示全部和，$S_n$表示部分和，也就是我们高中数学里习惯说的前n项和。简单的讲，交错级数前n项和的余项，不会超过接下来这一项的绝对值，这就是交错级数的余项公式。

拉格朗日插值余项

在插值过程中，有一个拓展概念叫拉格朗日插值余项。取插值结点：$a≤x0<x1<······<xn≤b$ 满足$L_n(x_k)=f(x_k)$的 n 次多项式插值余项： $$R_n(x)=f(x)-L_n(x) \\ =\frac{f^{(n+1)}(\xi_n)}{(n+1)!}\omega_{n+1}(x)$$ 其中，$\omega_{n+1}(x)=(x-x_0)(x-x_1)\dotsb (x-x_n)$。选取：$x_0,x_1,\dotsb,x_n$，使$\underset{a\le x \le b}{max}|\omega_{n+1}(x)|=min$

结论:选取切比雪夫多项式$T_{n+1}(x)$的全部零点。

使用切比雪夫节点插值和等距插值对函数$f(x)=\frac{1}{1+x^2}$模拟：

Figure 1: 切比雪夫结点插值

Figure 2: 等距结点插值