线性代数与矩阵之矩阵的正定性，二次型与合同矩阵

May 20, 2022 · 线性代数与矩阵  ·
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线性代数与矩阵之矩阵的正定性，二次型与合同矩阵

我们在对称矩阵的基础上定义了正定、半正定、负定、半负定的概念，并引入二次型，其与最大最小值相关。最后我们简介了矩阵的合同。

对称（埃米特）矩阵与正定性

对称（埃米特）矩阵与矩阵的正定性，通常正定性是定义在对称矩阵（或埃米特矩阵）上的，如果一个矩阵不是对称（埃米特）矩阵，就不具备讨论正定性的前提条件。

一个\(n×n\)的实对称矩阵\(A\)是正定的，当且仅当对于所有的非零实系数向量\(x\)，都有\(x^TAx>0\)，其中\(x^T\)表示x的转置。

类似的，如果\(x^TAx\geq 0\)，则\(A\)称为半正定矩阵；如果\(x^TAx<0\)，则\(A\)称为负定矩阵；如果\(x^TAx\leq 0\)，则\(A\)称为半负定矩阵。

注：如果是复数域的埃米特矩阵，那么上面一定中的转置都有替换成共轭转置。

正定性还有这几个等价命题：

  1. 矩阵\(A\)的所有特征值为正。对于正定矩阵的特征向量\(y\)，有\(y^TAy>0\Rightarrow y^T\lambda y=\lambda |y|^2>0\Rightarrow \lambda>0\)。
  2. 矩阵\(A\)的所有主元为正。证明思路：主元与二次型展开的平方项系数一致。
  3. 矩阵\(A\)的顺序主子式为正。
  4. 矩阵\(A\)与单位阵\(I\)合同，即存在可逆矩阵\(C\)，使得\(A=C^TIC\)。

类似的，半正定矩阵有以下等价命题：

  1. 矩阵\(A\)的所有特征值为非负。
  2. 矩阵\(A\)的所有主元为非负。
  3. 矩阵\(A\)的顺序主子式为非负。

我们可以通过例子说明，非对称矩阵可以在满足上述1，2，3的前提下不满足正定矩阵的定义\(x^TAx>0\)。如下例 \[ \begin{bmatrix} 1&-100\\0&1 \end{bmatrix} \] 显然，其主元、特征值都是1，顺序主子式也都大于0，但是对于\(x^TAx\)，我们随便找一个向量\(x=[1,1]^T\)，则 \[ [1\quad 1]\begin{bmatrix}1&-100\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}=-98<0 \] 这并不满足\(x^TAX>0\)。这说明，正定性必须建立在对称矩阵上。

正定矩阵性质

  1. 矩阵\(A\)是正定矩阵，它的逆矩阵\(A^{-1}\)也是正定矩阵。因为逆矩阵的特征值是原矩阵的倒数\(1\over \lambda\)，因此也都是正数。
  2. 矩阵\(A,B\)是正定矩阵，那么\(A+B\)也是正定矩阵。证明：\(x^T(A+B)x=x^TAx+x^TBx>0\)
  3. 如果\(A\)是一个\(m×n\)长方形矩阵，则\(A^TA\)是对称方阵，且一定半正定。证明：\(x^TA^TAx=(Ax)^TAx=|Ax|^2\geq 0\)。当\(A\)的秩为\(n\)时，\(A^TA\)为秩为\(n\)的\(n\)阶方阵，此时\(A^TA\)的零空间为零维空间，此时\(A^TA\)为正定矩阵。

二次型与最小值

有了对称矩阵和定义在对称矩阵上的正定矩阵，我们由\(x^TAx\)引出二次型的概念。所谓“二次型”就是多元二次函数的矩阵表示形态，但是这个多元二次函数只包含二次项不包含一次项和常数项。这是因为在高阶多项式中，主要性质大多由最高阶项决定。

二次型：对\(n\)维实向量\(x∈R^n\)\(n\)阶实对称阵\(A\)，\(f(\vec x)=\vec x^TA\vec x\)称为二次型。复数域上变为共轭转置即可。

由二项式展开式： \[ \begin{aligned} f(x_1,x_2,\dotsb,x_n)&=c_{11}x_1^2+c_{22}x_2^2+\dotsb+c_{nn}x_n^2\\ &+c_{12}x_1x_2+c_{13}x_1x_3+\dotsb+c_{1n}x_1x_n\\ &+\dotsb+c_{n-1,n}x_{n-1}x_n \end{aligned} \] 与二次型\(f(\vec x)=\vec x^TA\vec x\)关系可知，其系数矩阵\(A\)与二项式系数关系为： \[ A=\begin{bmatrix} c_{11}&0.5c_{12}&0.5c_{13}&\dotsb&0.5c_{1,n}\\ c_{21}&c_{22}&0.5c_{23}&\dotsb&0.5c_{2,n}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\ddots&\vdots&\\ 0.15c_{1,n}&0.5c_{2,n}&0.5c_{3,n}&\dotsb&c_{n,n}\\ \end{bmatrix} \] 显然，矩阵\(A\)是对称矩阵。当\(A\)是（半）正定矩阵时，二次型有最小值；当\(A\)是（半）负定矩阵时二次型有最大值。

正定负定不定半正定.png

正定负定不定半正定.png

合同矩阵（了解）

合同矩阵，在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。

合同矩阵：设\(A,B\)是两个\(n\)阶方阵，若存在可逆矩阵\(C\)，使得： \[B=C^TAC\] 则称方阵\(A\)与\(B\)合同，记作\(A≃B\)。

合同性质

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

  1. 反身性：任意矩阵都与其自身合同；
  2. 对称性：\(A\)合同于\(B\)，则可以推出\(B\)合同于\(A\)；
  3. 传递性：\(A\)合同于\(B\)，\(B\)合同于\(C\)，则可以推出\(A\)合同于\(C\)；
  4. 此外，由于\(B=C^TAC\)中，要求\(C\)可逆，所以合同矩阵的秩相同。

两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。

其中，提到了正负惯性指数，是指：

正惯性指数，简称正惯数，是线性代数里矩阵的正的特征值个数，也即是规范型里的系数"1"的个数。

实二次型的标准形中，系数为正的平方项的个数等于二次型的正惯性指数。

此外，合同变化与二次型的化简有关。