线性代数与矩阵之正规矩阵

正规矩阵

• 例子
• 性质
• 相似对角化

在数学中，正规矩阵（英语：normal matrix）\(\mathbf {A}\)是与自己的共轭转置满足交换律的复系数方块矩阵，也就是说，\(\mathbf {A}\)满足 \[\mathbf{A}^\ast\mathbf{A} = \mathbf{A} \mathbf{A}^\ast\] 其中\(\mathbf{A}^\ast\)是\(\mathbf{A}\)的共轭转置。

如果\(\mathbf{A}\)是实系数矩阵，则\(\mathbf{A}^\ast = \mathbf{A}^T\)，从而条件简化为\(\mathbf {A} ^{T}\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{T}\)其中\(\mathbf{A}^T\)是\(\mathbf{A}\)的转置矩阵。

任何一个正规矩阵，都是某个正规算子在一组标准正交基下的矩阵；反之，任一正规算子在一组标准正交基下的矩阵都为正规矩阵。

矩阵的正规性充要条件：

任意正规矩阵都可在经过一个酉变换后变为对角矩阵，反过来所有可在经过一个酉变换后变为对角矩阵的矩阵都是正规矩阵。

例子

在复系数矩阵中，所有的酉矩阵、埃尔米特矩阵和斜埃尔米特矩阵都是正规的。同理，在实系数矩阵中，所有的正交矩阵、对称矩阵和斜对称矩阵都是正规的。

性质

相似对角化

正规矩阵的概念十分重要，因为它们正是能使谱定理成立的对象。矩阵\(\mathbf{A}\)正规当且仅当它可以被写成\(\mathbf{A} = \mathbf{U} \mathbf{\Lambda} \mathbf{U}^\ast\)的形式。其中的\(\mathbf{\Lambda} = \operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots)\)为对角矩阵，\(\mathbf{U}\)为酉矩阵： \[\mathbf{U}^\ast\mathbf{U} = \mathbf{U} \mathbf{U}^\ast = \mathbf{I}\] 矩阵\(Λ\)对角线上的元素是\(A\)的特征值，而组成\(U\)的列向量则是\(A\)相应的特征向量。