线性代数与矩阵之正交（酉）矩阵与正交化

线性代数与矩阵之正交（酉）矩阵与正交化

• 正交向量组
• 正交矩阵
• 酉矩阵
• 施密特正交化
• QR分解

本笔记将系统的介绍矩阵中正交的相关概念，包括正交向量（组），正交矩阵以及酉矩阵、施密特正交化以及矩阵的QR分解等。

正交向量组

正交向量组：一组非零的两两正交(即内积为0)的向量构成的向量组，用数学语言可写为：有一组向量\((q_1,q_2,\dotsb,q_n)\)，向量之间两两满足 \[q_i^Tq_j=<q_i,q_j>=\begin{cases} 0,i\neq j\\ a>0,i=j \end{cases}\]

如果我们要求当\(i=j\)时的内积\(a=1\)，则称\((q_1,q_2,\dotsb,q_n)\)为标准正交向量组，所为“标准”就是其每个向量模长为单位长度1，相应的将向量长度化为1的过程就叫做标准化（Normalization）。（此外，如果这个标准正交向量组的个数等于空间的维度\(n\)，那么这一组标准正交向量可以作为空间的标准正交基。因为非零正交的向量必然线性无关）

正交矩阵

在矩阵论中，正交矩阵（英语：orthogonal matrix）是一个方阵\(Q\)，其元素为实数，而且行向量与列向量皆为正交的单位向量，使得该矩阵的转置矩阵有如下特性： \[Q^{T}Q=QQ^{T}=I\] 显而易见，\(Q^{T}=Q^{-1}\)即正交矩阵的转置为其逆矩阵。这算是正交矩阵最重要的性质。这也说明，矩阵\(Q\)的列向量组\((Cq_1,Cq_2,\dotsb,Cq_n)\)是一组标准正交向量。典型的正交矩阵有单位阵\(I\)，置换矩阵，标准化的Hadamard等。

酉矩阵

酉矩阵是正交矩阵在复数空间\(\mathbb{C}^n\)的推广。酉矩阵（又译作幺正矩阵，英语：unitary matrix）是一个\(n×n\)复数方块矩阵\(U\)，其满足以下性质： \[U^\ast U=UU^{\ast}=I_{n}\] 其中\(U\ast\)是\(U\)的共轭转置，\(I_n\)是\(n×n\)单位矩阵。同样的，酉矩阵的逆矩阵就是共轭转置： \[ U^{-1}=U^{*} \] 显然，\(U\)的列（行）向量组是在\(\mathbb{C}^n\)上的一组标准正交基。

施密特正交化

请看网页资料线性代数与矩阵之Gram-Schmidt正交化.html

原文地址https://ccjou.wordpress.com/2010/04/22/gram-schmidt-正交化與-qr-分解/

QR分解

某种程度上来说，矩阵的QR分解就是施密特正交化的矩阵化表示。对矩阵\(A\)进行施密特正交化得到\(Q\)，而求取\(R\)的过程是使用已经求取的标准正交基反推原来的列向量。