离散数学-代数群环域

Aug 1, 2019 · 离散数学 ·

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代数中的群、环、域

群环域的管旭

最常见的群之一是整数集\(\mathbb{Z}\)和整数的加法所构成的群。它由以下数列组成： \[…,−4,−3,−2,−1,0,1,2,3,4,…\] 群有四个公理。以上面的加法群为例。如下：

封闭性：对于任何两个整数a和b，它们的和a+b也是整数。换句话说，在任何时候，把两个整数相加都能得出整数的结果。这个性质叫做在加法下封闭。
结合律：对于任何整数a, b和c，(a+b)+c=a+（b+c）。用话语来表达，先把a加到b，然后把它们的和加到c，所得到的结果与把a加到b与c的和是相等的。这个性质叫做结合律。
单位元：如果a是任何整数，那么0+a=a+0=a。零叫做加法的单位元，因为把它加到任何整数都得到相同的整数。
逆元：对于任何整数a，存在另一个整数b使得a+b=b+a=0。整数b叫做整数a的逆元，记为−a。

群\((G,⋅)\)是由集合\(G\)和二元运算\("⋅"\)构成的，符合以下四个性质（称“群公理”）的数学结构。其中，二元运算结合任何两个元素\(a和b\)而形成另一个元素，记为\(a⋅b\)，符号\("⋅"\)是具体的运算，比如整数加法。

半群的运算经常指示为乘号。

集合\(S\)和其上的二元运算\(⋅: S×S→S\)。若\(⋅\)满足结合律，即：\(∀x,y,z∈S，有(x⋅y)⋅z=x⋅(y⋅z)\)，则称有序对\((S,⋅)\)为半群，运算\(⋅\)称为该半群的乘法。即半群只满足群的四个公理中的封闭性和结合律。

群运算的次序很重要，把元素\(a\)与元素\(b\)结合，所得到的结果不一定与把元素\(b\)与元素\(a\)结合相同；\(a⋅b=b⋅a\)(交换律)不一定恒成立。

阿贝尔群的群运算符合交换律，因此阿贝尔群也被称为交换群。它由自身的集合\(G\)和二元运算\(∗\)构成。它除了满足一般的群公理，封闭性、结合律、单位元、逆元之外，还满足 \[a∗b=b∗a\] 因为阿贝尔群的群运算满足交换律和结合律，群元素乘积的值与乘法运算时的次序无关。

群运算不满足交换律的群被称为“非阿贝尔群”，或“非交换群”。

阿贝尔群有两种主要运算符号,加法和乘法。

约定	运算	单位元	幂	逆元
加法运算	\(x+y\)	0	\(nx\)	\(−x\)
乘法运算	\(x∗y或xy\)	e或1	\(x^n\)	\(x^{−1}\)

集合R和定义于其上的二元运算\(+和⋅，(R,+,⋅)\)构成一个环，若它们满足：

\((R,+)\)形成一个交换群(阿贝尔群)，其单位元称为零元，记作0。即：封闭性：\((R,+)\)是封闭的结合律：\((a+b)+c=a+(b+c)\) 单位元：\(0+a=a+0=a\) 逆元：\(∀a,∃−a, 满足a+−a=−a+a=0\) 交换律： (a+b)=(b+a)
\((R,⋅)\)形成一个半群。即：封闭性：\((R,⋅)\)是封闭的结合律：\((a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)\)
乘法关于加法满足分配律。即：\(a⋅(b+c)=(a⋅b)+(a⋅c)\qquad(a+b)⋅c=(a⋅c)+(b⋅c)\)

就是一个交换群和一个半群的结合。环在群的基础上限制更加严格了一些。

以矩阵加法或矩阵乘法为运算，所有于一环内n×n矩阵所组成的集合，为环。

\((R,+)\)形成一个交换群(阿贝尔群)， \((R,⋅)\)形成一个半群，且满足交换率。多了一个\("⋅"\)满足交换律的条件。

除环（division ring），又译反对称体（skew field），是一类特殊的环，在环内除法运算有效。除环内必有非0元素，且环内所有的非0量都有对应的倒数（比如说，对于\(x\)来说，存在数\(a\)，使得\(a⋅x=x⋅a=1\)）。除环不一定是交换环。

换种说法，一个环是除环当且仅当其可逆元群包含了环中所有的非零元素。

也就是说，\((R,⋅)\)有乘法单位元，并且每个非零元素都有对应的乘法逆元。即，在环的基础上要求\((R,⋅)\)是群。

域是个集合\(F\)且带有加法和乘法两种运算，这里“运算”可以想成是种映射，对任意两元素\(a,b∈F\)，这映射将此两元素对应到某元素，且这些运算满足如下性质：

其中\(0≠1\)的要求排除了平凡的只由一个元素组成的域。

通过群和环的概念我们可以得到简化定义：

由以上性质可以得出一些最基本的推论：

域在环的基础上限制更加严格了一些。

包含有限个元素的域称为有限域或伽罗瓦域。有限域最常见的例子是当 p 为素数时，整数对 p 取模。有限域的元素个数称为它的阶。