测度论3.5之内侧度
内测度
有外测度,那有没有内测度 (inner measure)呢?还真有,但是在测度的构造中,内测度不是必须的,这边简单介绍一下。外测度试图从集合的外面向内逼近,而内测度则是从集合的里面向外逼近。
定义:内测度是一个对某个集合X的所有子集有定义的一个函数φ:2X→[0,∞], 满足下列条件:
- 空集: 空集的内测度为0。φ(∅)=0
- 超加性:对两个交集为空的集合A和B,有φ(A∪B)≥φ(A)+φ(B).
- 集合降链的极限:对一个集合序列Aj,若对于所有的j满足Aj⊇Aj+1,且φ(A1)<∞,则φ(⋂j=1∞Aj)=limj→∞φ(Aj)
- 若集合A满足φ(A)=∞,则对所有正数c, 存在A的一个子集B,使得c≤φ(B)<∞
另外一个定义可以从外测度诱导出来: >定义2:令X为一集合,μ∗是X上的一个外测度。定义内测度μ∗(A):=μ∗(A)−μ∗(Ac)
内测度可以从测度中构造出来: >定义3:令(X,M,μ)为一测度空间, 定义内侧度μ∗(E):=sup{μ(S):S∈A,S⊂E}
还有以下定理 >定理:令μ是Rn上的 Lebesgue 测度,μ∗(A)=μ∗(A)当且仅当A为μ-可测。