测度论3.5之内侧度

有外测度,那有没有内测度 (inner measure)呢?还真有,但是在测度的构造中,内测度不是必须的,这边简单介绍一下。外测度试图从集合的外面向内逼近,而内测度则是从集合的里面向外逼近。

定义:内测度是一个对某个集合XX的所有子集有定义的一个函数φ:2X[0,],\varphi :2^{X}\rightarrow [0,\infty ], 满足下列条件:

  • 空集: 空集的内测度为0。φ()=0\varphi (\varnothing )=0
  • 超加性:对两个交集为空的集合A和B,有φ(AB)φ(A)+φ(B).\varphi (A\cup B)\geq \varphi (A)+\varphi (B).
  • 集合降链的极限:对一个集合序列AjA_{j},若对于所有的jj满足AjAj+1A_{j}\supseteq A_{j+1},且φ(A1)<\varphi (A_{1})<\infty,则φ(j=1Aj)=limjφ(Aj)\varphi \left(\bigcap _{j=1}^{\infty }A_{j}\right)=\lim _{j\to \infty }\varphi (A_{j})
  • 若集合AA满足φ(A)=\varphi (A)=\infty,则对所有正数cc, 存在AA的一个子集BB,使得cφ(B)<c\leq \varphi (B)<\infty

另外一个定义可以从外测度诱导出来: >定义2:令XX为一集合,μ\mu^\astXX上的一个外测度。定义内测度μ(A):=μ(A)μ(Ac)\mu_*(A):=\mu^\ast(A)-\mu^\ast(A^c)

内测度可以从测度中构造出来: >定义3:令(X,M,μ)(X,\mathcal{M},\mu)为一测度空间, 定义内侧度μ(E):=sup{μ(S):SASE}\mu_*(E):=\sup\{\mu(S):S\in\mathcal{A},S\subset E\}

还有以下定理 >定理:令μ\muRn\mathbb{R}^n上的 Lebesgue 测度,μ(A)=μ(A)\mu_*(A)=\mu^\ast(A)当且仅当AAμ\mu-可测。