测度论2之定义与简单性质 Sep 14, 2020 · 测度论 · 分享到: 测度论2之定义与简单性质 总述 测度的定义 性质 测度的有限性 测度空间的完备性 概率与测度 补充两个测度的定理 测度构造的主线-粗线条 总述 这一章介绍测度的定义跟测度的简单性质，最后给出一个俯瞰的视角，勾勒出测度构造的主线。但是具体证明会在后面章节展开。 先在直觉层面介绍一下，测度论试图建立一般测量所需要的广义且底层的逻辑。一个测度可以是长度、面积、体积、概率，等等——它们的共同点就是给一个集合赋予一个数值。比如一条线段就是一个由点构成的集合，而长度就是给这个点集赋值一个实数 （这条线段长度是5）。这个实数不是随便赋值的，它要满足一些最基本的公理：比如两条线段不相交，那么他们的长度是可以相加的；再比如一个集合为空，那么长度应该为零，等等。 人们自然的就会问：给定一个集合，我们能不能找到这么一个“测度”，能够合理的给集合中所有的子集都赋上一个值，同时也满足我们所需的测量的最基本的公理呢？ 对于有限集或者可数集，我们确实能找到这样的测度；但是对于不可数集，我们却找不到这样的测度（如果我们接受选择公理，我们总能构造出一些集合，无论我们给这些集合赋什么值都会不满足测度公理要求的条件）。 既然大多数情况下（不可数集），我们没法找到一个测度能够合理的给集合中的每一个子集赋值，我们就退而求其次，问：”我们可以对哪些（不是全部）子集合理的赋值呢“。我们当然希望可以被测度赋值的子集越多越好————于是我们从一些子集开始，在测度依然可以合理赋值的条件下，逐步拓展、加入更多的子集；通常这些子集的集合体就会最终拓展成一个\(\sigma\)-代数。 测度的定义 测度：令\(X\)为一集合，\(\mathcal{A}\)是由\(X\)子集构成的\(\sigma\)-代数，在\((X,\mathcal{A})\)上的测度(measure)是一个映射\(\mu:\mathcal{A}\rightarrow [0,+\infty]\)，满足： \(\mu(\emptyset)=0\) 若\(A_i\in\mathcal{A},i=1,2,\dotsb\)两两不相交，那么：\(\mu(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_i)=\sum\limits_{n=1}^{\infty}\mu(A_i)\) 注：性质(2)也被称为可列可加性(countable additivity)；若(2)中的序列为有限的\(n\)个，那么就称为有限可加 (finitely additive)。有限可加未必可列可加。 从而三元组\((X,\mathcal{A},\mu)\)也被称为测度空间 (measure space)。 性质 若\(A,B\in \mathcal{A},A\subset B\)，那么\(\mu(A)<\mu(B)\) 若\(A_i\in\mathcal{A},A=\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i\)，那么\(\mu(A)\leq \mu(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}A_i)\) 若\(A_i\in\mathcal{A},A_i\nearrow A\)，那么\(\mu(A)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)\) 若\(A_i\in\mathcal{A},A_i\searrow A\)，且\(\mu(A_1)<\infty\),那么\(\mu(A)=\lim_{n\rightarrow\infty}\mu(A_n)\) 测度的有限性 称测度\(\mu\)为有限测度 (finite measure), 若\(\mu(x)<\infty\)。若\(\mu\)是有限测度，那么\((X,\mathcal{A},\mu)\)被称为有限测度空间 测度\(\mu\)为\(\sigma\)-有限，若存在集合\(E_i\in \mathcal{A},i=1,2,\dotsb\), 满足\(\forall i,\mu(E_i)<\infty,X=\bigcup\limits_{i=1}^\infty E_i\)。若\(\mu\)是\(\sigma\)-有限，则称为\(\sigma\)-有限测度空间。相较于有限测度宽松，只要求每个事件有限。 令\((X,\mathcal{A},\mu)\)为\(\sigma\)-有限测度空间，若\(F_n=\bigcup\limits_{i=1}^n E_i\)，则\(\forall n，F_n<\infty\)，且\(F_n\nearrow X\)。所以不失一般性，我们可以令上文定义中的\(E_i\)为递增集合 (\(E_i \nearrow\)) 测度空间的完备性 零测集：令\((X,\mathcal{A},\mu)\)为一测度空间，子集\(A\subset X\)被称为零测集 (null set) 如果存在集合\(B\in\mathcal{A},A\subset B,且\mu(B)=0\)。 >注：在前面的定义中，我们并不要求\(A\in\mathcal{A}\)。 完备性： >完备测度空间：若\(\mathcal{A}\)包含所有的零测集，那么\((X,\mathcal{A},\mu)\)为完备测度空间 (complete measure space). \(\mathcal{A}\)的完备化 (completion) 是最小的\(\sigma\)-代数\(\mathcal{\overline{A}}\supset \mathcal{A}\)，而\((X,\mathcal{\overline{A}},\mu)\)是完备的。有时候我们仅仅说 \(\mu\)是完备的，或者\(\mathcal{A}\)是完备的——它们都指\((X,\mathcal{A},\mu)\)是完备的。 概率与测度 概率(probability)或者有时候称为概率测度（probability measure)，被定义为一个测度，满足\(\mu(X)=1\)。在概率论的语境中，我们通常会写\((\Omega,\mathcal{F},P)\), 其中\(\mathcal{F}\)被称为是\(\sigma\)-域 (\(\sigma\)-field), 这个跟\(\sigma\)-代数是一回事儿。 补充两个测度的定理 补充两个定理，在泛函分析跟概率论的时候会被用到。 定理：令\((X,\mathcal{A})\)为一可测空间，\(\mu\)是一个非负的集合映射，有限可加，且\(\mu(\emptyset)=0\)。如果\(A_i\nearrow,A_i\in\mathcal{A}\)，那么\(\mu(\cup_iA_i)=\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\mu(A_i)\)。\(\mu\)是一个测度。 另一个角度来看， >定理：令\((X,\mathcal{A})\)为一可测空间，\(\mu\)是一个非负的集合映射，有限可加，且\(\mu(\emptyset)=0,\mu(X)<\infty\)。如果\(A_i\searrow\emptyset,A_i\in\mathcal{A}\)，那么\(\lim\limits_{i\rightarrow\infty}\mu(A_i)=0\)。\(\mu\)是一个测度。 测度构造的主线-粗线条 在这里我想列出（不证明）实数上Lebesgue测度的构造主线，力求列出最自然、跳跃最小的那条线。 \(\sigma\)-全：\(X\)上的集合系\(\Epsilon\)被称为是\(\sigma\)-全的(\(\sigma\)-total)，如果存在某个序列\(E_1,E_2,\dotsb\in\Epsilon,\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n=X\)。 注：\(\sigma\)-有限就自带了\(\sigma\)-全 粗线条如下： 测度构造粗线条 笔者画了下图以示各个测度与可测空间之间的关系: 测度与可测空间之间的关系 此外还有更细的细条内容，可见测度构造的主线 - 细线条。