测度论1之集合的集合

测度论之集合的集合

• 集合的集合
• 来自拓扑的定义
• 从\(\sigma\)代数开始
• 最小\(\sigma\)代数
• Borel集与Borel代数(域)
• 单调类定理
• 集合序列
• 单调系
• 一般角度的单调系定理
• λ系与π系
• π系
• λ系
• λ系π系与\(\sigma\)代数

集合的集合

集类(集合族,集合系)：集合的集合，X的集类表示由X的子集组成的集合。e.g. \(\{\emptyset,\{1,2\},\{1,3,4\},\{R\}\},P(X)(X的幂集)\)。

来自拓扑的定义

环--集环
设\(X\)为一集合，\(S\)为\(X\)上的一个非空集类。

• \(S\)对集合的并和差运算封闭，即\(\forall E,F\in S\implies E\cup F\in S,E-F\in S\)
• \(S\)对集合的交和对称差运算封闭，即：\(\forall E,F\in S\implies E\cap F\in S,E\triangle F\in S\)
• \(S\)对集合的交，差以及无交并运算封闭.对称差（\(\triangle\)）

当且仅当\(S\)满足以上几个条件中任何一个时，\(S\)构成一个环，此时\(S\)被称为一个集环。三个定义是可以相互推导的，比如利用德摩根律推导。其中对称差是加法，空集是零元，逆元是其自身，交是乘法，全集是幺元。

若集环S还满足以下条件：

若\(X \in A\)，则称\(A\)为\(X\)上的一个代数。即代数需要把\(X\)自身包含进去。

若\(A\)对有限并运算，有限交运算，差运算，余运算封闭，则称\(A\)为代数，称为\(X\)上的集代数 。

从\(\sigma\)代数开始

在集环的基础上（通常使用\(S\)对集合的并和差运算封闭的定义，即\(\forall E,F\in S\implies E\cup F\in S,E-F\in S\)）加上无限可数并操作的封闭：

对任意一列集合\(E_i \in A(i=1,2,\dotsb)\)，都有\(\bigcup\limits_{i=1}^{\infty}E_i\in A\)，则称\(A\)为\(X\)上的一个\(\sigma\)环。

从有限到无限可数（可列，阿列夫零\(\aleph_0\)）的转变。

同样的，在集代数的基础上，加上无限可数并操作的封闭，即是\(\sigma\)代数或\(\sigma\)域。

完整的定义如下：

\(X\)为一集合，假设有集合系\({\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)\)，其中 \({\mathcal {P}}(X)\)代表\(X\)的幂集，若\(\mathcal{F}\)满足下列条件

• \(X\in {\mathcal {F}}\);
• \(A\in {\mathcal {F}}\;\Rightarrow \;A^{c}\in {\mathcal {F}}\);
• \(A_{n}\in {\mathcal {F}},\;\forall n\in \mathbb {N} \;\Rightarrow \;\bigcup_{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {F}}.\)

则称集合系\(\mathcal{F}\)是\(X\)的\(σ-代数\)。

在测度论里\(\left(X,{\mathcal {F}}\right)\)称为一个可测空间。 集合族\(\mathcal{F}\)中的元素，也就是\(X\)的某子集，称为可测集合。而在概率论中，这些集合被称为随机事件。

例如：

1. X为任意集， X的至多可数集全体所成的集类 A为一个\(\sigma\)环。当且仅当X为至多可数集时(\(X \in A\))，A为\(\sigma\)代数。
2. 设\(A=\{\emptyset,X\}\)，则A是X上的\(\sigma\)代数，且为X上的最小\(\sigma\)代数。
3. 设\(P(X)\)为X全体子集所成的集类，则\(P(X)\)为X上最大的\(\sigma\)代数。

最小\(\sigma\)代数

Lemma：若\(A_\alpha\)是一个\(\sigma代数\)，\(\forall \alpha \in I\)，\(I\)为非空索引集(index set)，那么\(\bigcap_{\alpha \in I}A_\alpha\)也是一个\(\sigma代数\)。

Proof：以两个为例，多个可以递推。\(A_1,A_2\)是两个\(\sigma代数\)。

• 由于\(\emptyset,X\in A_1;\emptyset,X\in A_2\)，所以\(\emptyset,X\in A_1\cap A_2\)；
• 由于集合\(E,E^c \in A_1,A_2\)，所以\(E,E^c \in A_1\cap A_2\)；
• 对于可列集合\(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\in A_1,A_2\)，所以\(\bigcup _{n=1}^{\infty }E_{n}\in A_1\cap A_2\)

下面我们根据\(\sigma\)代数交的引理定义最小\(\sigma\)代数。

设\(\mathcal C\)是\(X\)上的任意子集类，则存在唯一的一个\(σ代数（σ(\mathcal C)）\)，它是包含\(\mathcal C\)的最小\(σ代数\)，称\(σ(\mathcal C)\)是\(\mathcal C\)生成的\(σ\)代数（\(\mathcal C\)为生成元） \[\sigma(\mathcal C) = {\bigcap} _{\mathcal F'为\sigma代数且\mathcal C \subset \mathcal F'}\mathcal F'\]

注意满足条件的\(σ\)代数是存在的，因为\(\mathcal{C}⊂P(X)\)。容易看出，若\(\mathcal{C_1}\subset \mathcal{C_2}\)，那么\(\sigma(\mathcal{C_1})\subset \sigma(\mathcal{C_2})\)。 \(\sigma(\sigma(\mathcal{C}))=\sigma(\mathcal{C})\)，因为有上面\(\sigma(\mathcal{C})\)本身是一个\(\sigma\)代数, 再根据定义便可得。

Borel集与Borel代数(域)

一个拓扑空间的开集全体所生成的\(\sigma代数\)就是borel代数。

如果我们幸运的能在度量空间或者更广义的拓扑空间\(X\)上定义一些开集，这时我们令\(G\)为\(X\)上所有开子集的集合，那么\(\sigma(G)\)就是\(X\)上的 \(Borel(-\sigma-)代数\) ，记为\(B_X\), 里面的元素就叫 Borel 集。

令\(X=\mathbb{R}\)，那么\(\mathcal{B}\)可以从以下的集合系的\(\sigma\)代数中生成：

1. \(\mathcal C_1=\{(a,b):a,b ∈ \mathbb{R}\}\)
2. \(\mathcal C_2=\{[a,b]:a,b ∈ \mathbb{R}\}\)
3. \(\mathcal C_1=\{(a,b]:a,b ∈ \mathbb{R}\}\)
4. \(\mathcal C_1=\{(a,∞):a ∈ \mathbb{R}\}\)

博雷尔测度（Borel measure）是σ代数上对区间[a, b]给出值b-a的测度。

博雷尔测度并不完备，因此习惯使用勒贝格测度：每个博雷尔可测集都是勒贝格可测的，并且它们的测度值吻合。

Borel系的其他细节可以参考学习笔记中的《Borel 集的作用？意义？它为什么重要？》

单调类定理

集合序列

不升序列：若对一切\(n \geq 1\)，\(A_n \subseteq A_{n+1}\)，且令\(A=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\)，则记为\(A_n\nearrow A\)也有写成\(A_n \uparrow A\).

不降序列：若对一切\(n \geq 1\)，\(A_n \supseteq A_{n+1}\)，且令\(A=\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n\)，则记为\(A_n\searrow A\)也有写成\(A_n \downarrow A\).

\(A_n\nearrow A\)当且仅当\(A_n^c\searrow A^c\)。

单调系

一个单调系(monotone class)是由集合\(X\)的子集构成的集合系\(\mathcal{M}\)同时满足以下两个条件：

1. 如果集合\(A_i\nearrow A\)，且\(\forall i,A_i\in \mathcal{M}\)，那么\(A \in \mathcal{M}\)，即对不降序列的可数并封闭。
2. 如果集合\(A_i\searrow A\)，且\(\forall i,A_i\in \mathcal{M}\)，那么\(A \in \mathcal{M}\)，即对不升序列的可数交封闭。

单调系的交集仍然是单调系。所有包含某个集合系\(\mathcal{C}\)的单调系的交就是包含该集合系的最小单调系。 \[\mathcal{M}(\mathcal{C})= {\bigcap} _{\mathcal M'为单调系且\mathcal C \subset \mathcal M'}\mathcal M'\]

\(\sigma代数\)与单调系的关系可以通过下面说明。 >引理：\(\sigma代数\Leftrightarrow 代数+单调系\)

证明：

\(\sigma代数\Rightarrow 集代数\)，显然\(\sigma代数\)是在集代数的定义上添加无穷可列并封闭的条件得来的。

\(\sigma代数\Rightarrow 单调系\)，\(\sigma代数\)要求可列并和可列交封闭，满足单调系\(\bigcap\limits_{n=1}^{\infty}A_n \in \mathcal{M},\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in \mathcal{M}\)的定义。

\(代数+单调系\Rightarrow\sigma代数\)，集代数提供了\(\sigma代数\)的\(\emptyset,X\in \mathcal{M}；A\in \mathcal{M}\Rightarrow A^c\in \mathcal{M}\)与有限交、并的封闭性。需要从单调系中推导出无限可数并的封闭性。于是我们对于任意集合系\(A_n\)构造如下集合序列： \[\begin{cases} C_1=A_1\\ C_2=A_1\cup A_2\\ \vdots\\ C_n=A_1\cup A_2\dotsb\cup A_n\\ A_n,C_n\subset X \end{cases}\\ A_1\dotsb A_n\dotsb\in \mathcal{M}\\ \bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n=\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}C_n\nearrow C \in \mathcal{M} \] 所以无限可数并\(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n \in \mathcal{M}。代数+单调系\Rightarrow\sigma代数\)

得证。

一般角度的单调系定理

单调系定理：令\(\mathcal A_0\)是定义在\(X\)上的一个代数，\(\mathcal A\) 是包含\(\mathcal A_0\)的最小 \(\sigma\)-代数，\(\mathcal M\)是包含\(\mathcal A_0\)的最小单调系，那么\(\mathcal M=\mathcal{A}\)。该定理联系了单调系和\(\sigma\)代数.

Proof：由以上引理可知，\(\sigma代数\)是一个单调系且包含\(X的子集A_0\)，而\(M\)是包含\(A_0\)的最小单调系。即\(\mathcal{M}\subset\mathcal{A}\)。

如果我们能接着证明\(\mathcal{A}\subset\mathcal{M}\)，则说明\(\mathcal M=\mathcal{A}\)。

由以上引理中的证明可知，单调系的定义可以使得集系\(\mathcal{M}\)内对无穷可数并封闭。如果我们能证明最小单调系也是一个集代数(证明略)，那么就用引理：\(\sigma代数\Leftrightarrow 代数+单调系\)推得\(\mathcal{M}\)是一个\(\sigma\)代数。

\(\mathcal{M}\)是一个包含\(A_0的\sigma\)代数，而\(\mathcal A\) 是包含\(\mathcal A_0\)的最小 \(\sigma\)-代数，所以\(\mathcal{A}\subset\mathcal{M}\)。

综上所述，\(\mathcal{A}\subset\mathcal{M}\)，\(\mathcal{A}\supset\mathcal{M}\)，所以\(\mathcal M=\mathcal{A}\)。

英文版单调性与单调系定理

λ系与π系

π系

定义：若在\(X\)上的非空子集类\(\Pi\)满足：

\(A,B∈\Pi⇒A\cap B∈\Pi\),则称子集类\(Π为π系\)。

即它对交运算封闭，\(\sigma\)代数也是\(\pi\)系。\(\pi(A)\)指由\(A\)生成的\(\pi\)-系，是包含 \(A\)的最小的\(\pi\)-系。

λ系

定义：若在\(X\)上的子集类\(\Lambda\)满足：

1. \(X\in \Lambda\)
2. 若\(A\in\Lambda\)，那么\(A^c\in\Lambda\)(注：这条也可等价换成\(A,B\in\Lambda,A\subset B,B-A\subset \Lambda\))
3. 如果集合序\(A_1,A_2,A_3,\dotsb,\in \Lambda\)且互不相交，那么\(\bigcup\limits_{n=1}^{\infty}A_n\in \Lambda\)

\(\lambda\)系和\(\sigma\)代数的区别是对于无穷可数并的要求\(\lambda\)系更严格，所以\(\sigma\)代数也是\(\lambda\)系。\(\lambda(A)\)指由\(A\)生成的\(\lambda\)-系，是包含 \(A\)的最小的\(\lambda\)-系。

λ系π系与\(\sigma\)代数

若一个集合系\(\mathcal{A}\)既是\(\lambda\)-系又是\(\pi\)-系，那么它也是\(\sigma\)-代数。且\(\lambda(\mathcal{A})=\sigma(\mathcal{A})\)。