数学分析-基础

Mar 1, 2020 · 数学分析  ·
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数学分析基础

数学分析定理关系

数学分析定理关系

实数完备性定理

详细请看实数完备性基本定理的相互证明(30个).pdf

确界定理

上（下）确界的两种定义方式：

  1. 严格定义：若\(\beta\)是数集\(S\)的一个上（下）界，并且有\(\forall \varepsilon>0，\exists x_\varepsilon ∈ S\)，满足\(x_\varepsilon>\beta-\varepsilon(x_\varepsilon<\beta+\varepsilon)\)，则称\(\beta\)是数集\(S\)的上（下）确界。
  2. 简化定义：上确界是最小上界，下确界是最大下界。

确界原理可以被看做公理，它是实数的连续性或完备性的体现，即实数包含了数轴上所有的点，没有空隙。数集\(S\)的上确界常被记作\(\sup S\)，下确界记作\(\inf S\)。

有上界的非空数集必有上确界。有下界的非空数集必有下确界。

空集的上确界是\(-∞\)，下确界是\(+∞\)

单调有界定理

单调有界定理:单调有界数列必有极限。

证明：

考虑有上界的单调递增序列，确定定理指出，有上界必有上确界。

首先指出有上确界\(a，\forall a_n和\varepsilon>0，a_n≤a<a+\varepsilon\)。

其次根据上确界的定义，\(\forall \varepsilon>0，\exists a_N\)，使得\(a_N>a-\varepsilon\)。由于序列递增，所以当\(n>N\)时，\(a_n≥a_N>a-\varepsilon\)。

综上，当\(n>N\)时，\(\forall \varepsilon>0\)， \[a_n<a+\varepsilon\Rightarrow a_n-a<\varepsilon\\ a_n≥a_N>a-\varepsilon\Rightarrow a-a_n<\varepsilon\] 即\(|a_n-a|<\varepsilon\)，上确界\(a\)为序列的极限。同理对于有下界的递减数列同样可得极限为下确界。

推论：

  1. 如果单调序列的一个子序列收敛，则这个单调序列收敛。
  2. 如果单调序列的一个子序列趋向无穷，则这个序列发散。
  3. 一个单调序列要么收敛要么发散。
  4. 单调序列收敛的充分必要条件是序列有界。

闭区间套定理

设\(I_n=[a_n,b_n],n∈N^+\)，为一列闭区间，满足：

  1. \(I_1\supset I_2\supset I_3\supset\dotsb\supset I_n\supset I_{n+1} \dotsb\)
  2. 区间长度\(|I_n|=b_n-a_n → 0(n→∞)\)，

则存在唯一一点\(\xi满足\xi\in\bigcap\limits_{n=1}^∞ I_n\)。

即\(\lim_{n→∞}a_n=\lim_{n→∞}b_n=\xi\)。R中长度趋于0的区间套有且只有一个公共点。 闭区间套定理

证明：由区间的包含关系可知，左端点组成的数列\(\{a_n\}\)递增，右端点组成的数列\(\{b_n\}\)递减，并且\(\{a_n\}\)有上界\(b_1\)，\(\{b_n\}\)有下界\(a_1\)。由单调有界定理可知，下面两式有极限： \[\lim_{n→∞}a_n=a\\ \lim_{n→∞}b_n=b\] 由于\(a_n\leq b_n\)恒成立，所以\(a\leq b\)，因此由不等式： \[a_n≤a≤b≤b_n(n∈N^+)\\ \Rightarrow 0≤b-a≤b_n-a_n=|I_n|\] 由区间长度\(|I_n|→0(n→∞)\)可知，\(a=b\)。此时： \[a_n≤a=b≤b_n，对\forall n∈N^+成立，即a ∈ I_n\] 由此可得：\(a ∈ \bigcap\limits_{n=1}^∞ I_n\)，\(a\)的唯一性可有极限的唯一性(Hausdorff空间极限都唯一)推得。

列紧性定理(致密性定理)

列紧性定理(致密性定理)：任意有界数列中必可造出收敛子列。

证明：

方法1：区间套定理。

设\(\{x_n\}\)为一有界数列，有\(a≤x_n≤b\)，将区间\([a,b]\)分成\([a,(a+b)/2]\)和\([(a+b)/2,b]\)两部分，显然至少一个区间包含无穷多项，取那个区间的下界记作\(a_1\)，上界记作\(b_1\)。在该区间任取一项记作\(c_1\)。依次取下去得到数列\(\{a_n\}\)和\(\{b_n\}\)和闭区间列\(\{[a_n,b_n]\}\)，且\(\lim\limits_{n→∞}(b_n-a_n)=\lim\limits_{n→∞}\frac{b-a}{2^n}=0\)。根据区间套定理，\(\lim\limits_{n→∞}a_n=\lim\limits_{n→∞}b_n=\xi\)，由于每一个区间包含无穷多项，因而可以取到完整的子列\(\{c_n\}\)，并且有\(a_n≤c_n≤b_n\)，根据夹逼定理有\(\lim\limits_{n→∞}c_n=\xi\)。

方法2：此外还可以依赖单调有界定理，以下重点说明。

引理：每一个无限实数序列必包含一个单调子序列。

如果对于一个正整数\(n\)，有如果\(n<m\)，那么\(a_n>a_m\)，则称\(a_n\)为一个“峰”。即峰值比以后任意一个数值都要大。

如果峰的个数有无限多个，\(n_{1}<n_{2}<n_{3}<\dots <n_{j}<\dots\)，那么我们构造峰的子序列\(\{a_{n_j}\}\)。由于峰值递减，所以子序列\(\{a_{n_j}\}\)为一单调递减子序列。如果峰的个数有限，那么设\(N\)为最后一个峰的序号，取\(n_1=N+1\)，\(n_1\)不是峰，那意味着\(\exists n_2>n_1\)，使得\(a_{n_2}≥a_{n_1}\)。同样的，\(n_2\)也不是峰，那么\(\exists n_3>n_2\)，使得\(a_{n_3}≥a_{n_2}\)。重复这个过程，我们就可以取得一个单调递增序列\(\{a_{n_1},a_{n_2},a_{n_3},\dotsb\}\)。

引理证毕。

我们已知序列\(\{a_n\}\)中必存在一个单调子序列。并且原序列是有界的，所以子序列是一个单调有界子序列，根据单调有界定理，此子序列收敛（存在极限）。

定理证毕。

柯西收敛准则

柯西基本序列：对给定数列\(x_n\)，如\(\forall \varepsilon>0，\exists N ∈ \mathbb{N^+}\)，当\(m，n ∈ \mathbb{N^+}，且m，n>N\)时，都有 \[|x_m-x_n|<\varepsilon\] 则称\(x_n\)为基本列。或者叙述为：

\(\forall \varepsilon > 0, \exists N ∈ \mathbb{N^+}，当n>N时，\forall p ∈ \mathbb{N^+}，有\) \[|x_{n+p}-x_n|<\varepsilon\] 柯西基本序列
柯西基本序列示意

柯西收敛准则：\(\{a_n\}\)是基本列\(\Leftrightarrow\)数列\(\{a_n\}\)收敛 。柯西收敛准则还体现了实数的完备性。

证明：

柯西基本列\(\Rightarrow\)收敛。设\(\{a_n\}\)为基本列.

(1)先证明\(\{a_n\}\)有界，取\(\varepsilon_0=1\)，根据基本列定义，\(\exists N ∈ \mathbb{N}^+，n>N\)时： \[|a_n-a_{N+1}|<\varepsilon_0=1\\ |a_n|=|a_n-a_{N+1}+a_{N+1}|≤|a_n-a_{N+1}|+|a_{N+1}|\\ ≤1+|a_{N+1}|\] 取\(M=\max\{|a_1|,|a_2|,\dots,|a_N|,1+|a_{N+1}|\},\)则对\(\forall n\)，有\(|a_n|≤M\)，即数列\(\{a_n\}\)有界。

(2)由列紧性定理可知，数列\(\{a_n\}\)有界则存在收敛子序列\(\{a_{i_n}\}\)。设\(\lim_{n→∞}a_{i_n}=a\)，则\(\forall \varepsilon>0，\exists N_1 ∈ \mathbb{N^+}\)，当\(i_n>N_1\)时: \[|a_{i_n}-a|<\frac{\varepsilon}{2}\] 由\(\{a_n\}\)是基本列可知，\(\exists N_2 ∈ \mathbb{N}^+\)，\(m，n>N_2\)时： \[|a_m-a_n|<\frac{\varepsilon}{2}\] 我们取\(i_k>max(N_1,N_2)\)则 \[|a_n-a|=|a_n-a_{i_k}+a_{i_k}-a|≤|a_n-a_{i_k}|+|a_{i_k}-a|<\varepsilon\] 所以\(\lim_{n→∞}a_n=a\)，得证。

收敛\(\Rightarrow\)柯西基本列。设\(\{a_n\}\)收敛于\(a\)，则\(\forall\varepsilon>0，\exists N ∈ \mathbb{N^+}，n>N\)，有\(|a_n-a|<\varepsilon/2\)。当\(m,n>N\)时 \[|a_m-a_n|=|a_m-a+a-a_n|≤|a_m-a|+|a_n-a|<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon\] 所以\(\{a_n\}\)是柯西基本列。

更重要的是其他6个定理可由柯西收敛准则直接推出。

有限覆盖定理（紧性）

覆盖定义：设\(Ф\)是拓扑空间\(X\)的子集族，称\(Ф\)是\(X\)的一个覆盖，如果对任意\(x∈X，x\)至少包含在\(Ф\)的一个成员之中。

等价定义：给定集合\(X\)若有一族开区间\(\{I_\lambda,\lambda ∈ \Lambda\}\)，使\(A\subset\bigcup\limits_{\lambda ∈ \Lambda}I_\lambda\)，则称开区间族\(\{I_\lambda\}\)是\(X\)的一个开覆盖。

有限覆盖定理（海涅-博雷尔定理）不同表述：

  1. 若开区间所成的区间集\(\{I_\lambda\}\)覆盖闭区间\([a,b]\)，则可以从\(\{I_\lambda\}\)中选出有限个区间覆盖\([a,b]\)。区间集必须为开区间集，否则集合不能成立。
  2. R中的有界闭集是紧的。

证明：反证法。

设\([a,b]\)不能被\(\{I_\lambda\}\)中的有限个开区间覆盖。将\([a,b]\)二等分，必至少有一个区间\([a_1,b_1]\)不能被有限覆盖。

\([a_1,b_1]\)二等分，必至少有一个闭区间\([a_2,b_2]\)不能被有限覆盖。如此继续操作得到比区间套\(\{ [a_n,b_n]\}\)，且其中每一个闭区间都不能被有限的覆盖。

由闭区间套定理可知，\(\exists \eta ∈ \bigcap\limits_{n=1}^∞[a_n,b_n]\)，且\(\lim_{n→∞}a_n=\lim_{n→∞}b_n=\eta\).

因为\(\eta ∈ [a,b]\)，所以根据覆盖定义在\(\{I_\lambda\}\)中至少有一个开区间\((\alpha,\beta)\)覆盖了\(\eta\)。由数列极限定义给出，对于\(\forall \eta-\alpha>0，\exists N ∈ \mathbb N^+\)，当\(n>N\)，\(|a_n-\eta|<\eta-\alpha\)；同理有\(|b_n-\eta|<\beta-\eta\)，所以： \[|a_n-\eta|<\eta-\alpha\Rightarrow \eta-a_n<\eta-\alpha\Rightarrow a_n>\alpha\\ |b_n-\eta|<\beta-\eta\Rightarrow b_n-\eta<\beta-\eta\Rightarrow b_n<\beta\] 即\([a_n,b_n]\subset(\alpha,\beta)\)可以被一个开区间覆盖。与上文说的每一个\([a_n,b_n]\)都不能被有限的覆盖矛盾。

所以反命题不成立，原命题得证。

我觉得联系聚点的概念更容易理解有限覆盖定理。

聚点定理

邻域：设\(\delta>0\)，开区间\((a-\delta,a+\delta)\)称为\(a\)的\(\delta\)邻域，记作\(U(a,\delta)\),\(\delta\)称作该邻域的半径。 去心邻域：设\(\delta>0\)，\(U(a,\delta)-{a}\)称为\(a\)的去心\(\delta\)邻域，记作\(U^\circ(a,\delta)\) 聚点：设X是数集，实数\(a\)满足，\(\forall \delta>0\)，满足\(U^\circ(a,\delta)\cap X \neq \emptyset\)，则称\(a\)为\(X\)的聚点。

等价描述为：如果点\(a\)的任何邻域 \[U^\circ(a,\delta)=\{x|0<|x-a|<\delta\}\] 都含有X中无穷多个点，则称\(a\)为\(X\)的聚点。

借助这些概念我们有如下定理：

聚点定理：任何有界无穷点集至少有一个聚点。

证明：反证法（利用有限覆盖定理）。设有界无限点集\(S\)无聚点，则由\(S\)有界可知：

存在实数\(a，b\)使得\(S \subset [a,b]\)。因为\(S\)无聚点，所以\([a,b]\)中的点都不是\(S\)的聚点。\(\forall x ∈ [a,b], \exists \delta_x\)，使得\(U^\circ(x,\delta_x)\)仅含有有限个\(S\)中的点。

记\(F=\{U^\circ(x,\delta_x)|x ∈ [a,b]\}\)，则\(F\)为\(S\)的一开覆盖。由有限覆盖定理可知，存在\(S\)的有限个数的子覆盖。而每个开区间邻域内只有有限个点，有限个覆盖\(\times\)有限个点<\(∞\)，不可能得到无穷点集，矛盾。所以反命题不成立。得证。

此外，我们再来写一个证明来完整闭环。聚点定理\(\Rightarrow\)致密性定理。

设数列\(\{a_n\}\)有界，显然可以看做一无穷点集，根据聚点定理，至少存在一个聚点\(\xi\)。依次从\(\xi\)的\(1/i\)邻域中取一项，记作\(x_i\)，根据聚点定义，可以无限取下去构成子列\(\{x_n\}\)，且有\(|x_n-\xi|<1/n\)，易证\(\lim\limits_{n→ ∞}x_n=\xi\)。得证。

导集内核闭包

内核：设\(E\)是\(R^n\)中的点集，由\(E\)的所有内点组成的集合称为\(E\)的内核，记为\(E^\circ\)。

导集：设\(E\)是\(R^n\)中的点集，由\(E\)的所有聚点组成的集合称为\(E\)的导集，记为\(E'\)。

闭包：设\(E\)是\(R^n\)中的点集，称\(E^\circ\cup E'\)为\(E\)的闭包，记为\(\overline{E}\)。

关于导集、内核、闭包有以下定理： >如果\(A \subset B\)，则\(A^\circ \subset B^\circ，A'\subset B'，\overline{A}\subset\overline{B}\)。即导集、内核、闭包的运算具有单调性。

从完备性，列紧，紧看定理体系

实数完备列紧与紧

实数完备列紧与紧