数学分析之连续性

数学分析之连续性

设有一个\(f:\mathcal R^n→\mathcal R^m\)的映射。

点的连续性：\(f\)称为在\(x_0\in \mathcal R^n\)处连续，若\(\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0\)，\(s.t. \forall x\in \mathcal R^n\)，若\(\Vert x-x_0\Vert<\delta\)，则有\(\Vert f(x)-f(x_0)\Vert <\varepsilon\)。

如果我们用开球（又称邻域）\(B(x_0;r)=\{x\in \mathcal{R^n} \big\vert \Vert x-x_0\Vert <r\}\)，来描述连续性： >\(\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0有f(B(x_0;\delta))\subset B(f(x_0);\varepsilon)\) ---------------------------------------- >映射的连续性：\(f:\mathcal R^n→\mathcal R^m\)称为连续映射，若\(\forall x_0 \in \mathcal R^n\)，\(f\)在\(x_0\)出连续。

连续与开集的关系

设开集为\(U\)，若对于\(\forall U \underset{open}{\subset} \mathcal{R^m}\)

\(f\)连续\(\Rightarrow\)开集的原像是开集

考虑\(U\)的原像\(f^{-1}(U),\forall x_0\in f^{-1}(U),f(x_0)\in U\)。

由于\(U\)是开集，对于其中的点\(f(x_0)，\exist \varepsilon>0. s.t. B(f(x_0);\varepsilon)\subset U\)

又因为\(f\)在\(x_0\)出连续，则\(\exist \delta>0\)使得\(f(B(x_0;\delta))\subset B(f(x_0);\varepsilon)\Rightarrow B(x_0;\delta)\subset f^{-1}(B(f(x_0);\varepsilon))\subset f^{-1}(U)\)。对于\(U\)中每一点都成立，所以\(f^{-1}(U)\)为\(\mathcal{R^n}\)中开集。

开集的原像是开集\(\Rightarrow f\)连续

\(\forall x_0 \in \mathcal{R^n}\)，先证\(f\)在任一点\(x_0\)出连续。

\(\forall \varepsilon>0\)，考虑\(B(f(x_0);\varepsilon)\),由于条件开集的原像为开集，开球的原像\(f^{-1}(B(f(x_0);\varepsilon))\)也是开集，即\(x_0\in f^{-1}(B(f(x_0);\varepsilon))且\exist\delta>0\)，s.t. \(B(x_0;\delta)\subset f^{-1}(B(f(x_0);\varepsilon))\Rightarrow f(B(x_0;\delta))\subset B(f(x_0);\varepsilon)\Rightarrow f\)在\(x_0\)出连续。由于对任意\(x_0\)都成立，所以映射\(f\)连续。

总结：\(f:\mathcal{R^n}→\mathcal{R^m}\)连续映射\(\Leftrightarrow\)在\(f\)下，开集的原像为开集。这样我们可以仅通过开集的概念来验证映射的连续性。