数学分析之泰勒级数与高阶中值定理

泰勒级数与高阶中值定理

• 费马引理
• 费马引理证明
• 一阶微分中值定理
• 罗尔（Rolle）中值定理
• 拉格朗日（Langrange）中值定理
• 柯西（Cauchy）中值定理
• 泰勒中值定理
• 泰勒中值定理的一阶展开

费马引理

设函数\(f(x)\)在点\(x_0\)的某邻域\(U(x_0)\)内有定义，并且在\(x_0\)处可导，如果对任意的\(x\in U(x_0)\)，有 \[f(x)\le f(x_0)或f(x)\ge f(x_0)\] 那么\(f^\prime(x_0)=0\)。

费马引理的一个推论是，函数\(f\)在定义域\(A\)内的最大值和最小值只能在边界上，不可导的点，或驻点取得。

费马引理证明

假设\(x_0\)是一个极大值（如果\(x_{0}\)是极小值，证明亦类似）。那么存在一个\(\delta >0\)，使得对于所有的\(|x-x_{0}|<\delta\)，都有\(f(x_{0})\geq f(x)\)。因此对于任何\(h \in (0,\delta)\)，有： \[\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h}\leq 0 \tag{1}\] 由于当\(h\)从上方趋于0时，这个比值的极限存在且为 \(f'(x_0)\)，我们便有\(f'(x_0) \le 0\)。另一方面，当 \(h \in (-\delta,0)\)时，我们注意到： \[\frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \geq 0\tag{2}\] 当\(h\)从下方趋于0时，这个极限存在，且等于 \(f'(x_0)\)，我们又有\(f'(x_0) \ge 0\)。

因此\(f'(x_0) = 0\)。

一阶微分中值定理

罗尔（Rolle）中值定理

\(y=f(x)\)满足：

1. 在区间[a,b]上连续
2. 在区间（a，b）内可导
3. \(f(a)=f(b)\)

\(\Rightarrow\)在(a,b)内至少存在一点\(\xi\)，使\(f'(\xi)=0\)

罗尔（Rolle）中值定理证明：

因\(f(x)\)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值M和最小值m。

若\(M=m\)，则\(f(x)\equiv M,x\in [a,b],\)，因此\(\forall\xi\in(a,b),f'(\xi)=0\)

若\(M>m\)，则M和m中至少有一个与端点值不相同，不妨设极大值\(M\neq f(a)\)，则至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使\(f(\xi)=M\)，则费马引理可知\(f'(\xi)=0\)（只有在驻点才可能取得极值）。

注意：定理条件不全具备，结论不一定成立。

拉格朗日（Langrange）中值定理

\(y=f(x)\)满足：

1. 在区间[a,b]上连续
2. 在区间（a，b）内可导

\(\Rightarrow\)至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使\(f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)

拉格朗日（Langrange）中值定理证明：

可以把问题转为证明\(f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\)。我们作辅助函数： \[\phi(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\] 显然，\(\phi(x)\)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且\(\phi(a)=\frac{bf(a)-af(b)}{b-a}=\phi(b)\)。

\(\phi(x)\)函数可由罗尔定理只至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使\(\phi'(\xi)=0\)，即定理结论整理。证毕。

柯西（Cauchy）中值定理

\(f(x)\)及\(F(x)\)满足：

1. 在闭区间[a,b]上连续
2. 在开区间(a,b)内可导
3. 在开区间(a,b)内\(F(x)\neq0\)

\(\Rightarrow\)至少存在一点\(\xi\in(a,b)\)，使\(\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f'(\xi)}{F'(\xi)}\)

证明同拉格朗日中值定理。

泰勒中值定理

若\(f(x)\)在包含\(x_0\)的某开区间（a，b）内具有直到n+1阶导数，则当\(x\in(a,b)\)时，有 \[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0)^n+R_n(x)(1)\] \[R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)^{(n+1)}（2）\] 其中，\(\xi\)在\(x\)和\(x_0\)之间(\(x\in [min(x,x_0),max(x,x_0)]\))。

公式（1）为泰勒n+1阶展开式。公式（2）为n+1阶泰勒余式，称为拉格朗日余项。

泰勒中值定理的一阶展开

如果\(f(x)\in C^2,P=1,\xi在x_0和x之间\)，那么 \[f(x)=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(\xi)}{2!}(x-x_0)^2,\xi\in\] 变量\(x\)变成高维（\(0\leq \alpha \leq 1\)）： \[f(\textbf{x}+\boldsymbol{\delta})=f(\textbf{x})+\textbf{g}(\textbf{x})^T\boldsymbol{\delta}+\frac{1}{2}\boldsymbol{\delta}^T\textbf{H}(\textbf{x}+\alpha\boldsymbol{\delta})\boldsymbol{\delta}\] 其中，\(\textbf{g}(\textbf{x})\)为一阶导函数向量（梯度），\(\textbf{H}(\textbf{x})\)为多元函数的海森矩阵。