数学分析之水平集

Mar 16, 2020 · 数学分析  ·
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水平集是数学中的中一个重要概念，这个概念和函数图像有着直观的联系，同时水平集也和函数的连续性，拟凸性，等高线图有着直接的联系。

在数学领域中, 一个具有nn变量的实值函数ff的水平集是具有以下形式的集合 {(x1,...,xn)∣f(x1,...,xn)=c} \{(x_1,...,x_n)|f(x_1,...,x_n)=c\}

其中cc是常数， 即使得函数值具有给定常数的变量集合。当具有两个变量时, 称为水平曲线(等高线), 如果有三个变量, 称为水平曲面, 更多变量时, 水平集被叫做水平超曲面。

例如, 指定一个半径rr, 圆的方程可以定义为一个等高线： r2=x2+y2 r^2=x^2 + y^2 如果取r=5r=5, 那么等高值为c=52=25c=5^2=25。

所有使得x2+y2=25x^2 + y^2=25的点(x,y)(x,y)构成了它的等高线。 这就是说他们属于等高线的水平集。 如果x2+y2x^2 + y^2小于 25 这个点(x,y)(x,y)就在等高线的内部;如果大于25，这个点就在等高线外部。

定理： 函数ff在一点处的梯度与在该点处ff的水平集垂直。

这个定理是十分不寻常的。为更好的理解定理的含义，设想两个旅行者在一座山峰的同一位置。其中一个人很大胆，决定从坡度最大的地方走。另一个人比较保守；他不想向上爬，也不想走下去，选择了一条在同一高度的路。上面的定理就是说，这两个旅行者相互离开的方向是互相垂直的。

Level_grad.png

Figure 1: Level_grad.png

Level_grad.png

集合{(x1,...,xn)∣f(x1,...,xn)≤c}\{ (x_1,...,x_n) | f(x_1,...,x_n) ≤ c \}被称为ff的下水平集或子水平集;

集合{(x1,...,xn)∣f(x1,...,xn)≥c}\{ (x_1,...,x_n) | f(x_1,...,x_n) \geq c \}被称为ff的上水平集。

上下水平集与最大最小值定理相关：

定义：对于一个拓扑空间XX，如果

  • f:X→Rf:X→R是下半连续的，则其任意下水平集是闭的。
  • f:X→Rf:X→R是上半连续的，则其任意上水平集是闭的。

通过半连续性，我们可以知道一个映射是否可以取到最值： >定理：设XX是非空紧集，f:X→Rf:X→R则： > >- ff下半连续⇒\Rightarrow函数有最小值 >- ff上半连续⇒\Rightarrow函数有最大值

具体可以参考魏尔斯特拉斯极值定理

上下水平集与拟凸拟凹函数有关：

f:Rn→R,domff:R^n→R, \mathop{dom}f是凸集，α−\alpha-下水平集是凸集，则f(x)f(x)为拟凸函数。即 f:Rn→R,s.t. Sα={x∈domf∣f(x)≥α}为凸集f:R^n→R,s.t.\, S_\alpha=\{x\in \mathop{dom} f| f(x)\geq \alpha\}为凸集 ff是拟凸函数，我们称−f-f为拟凹函数,拟凹函数的α−\alpha-上水平集是凸集。