拓扑学之同坯

同坯的通俗解释

同胚的通俗解释

拓扑学是研究几何图形或空间在连续改变形状后还能保持不变的一些性质的学科。它只考虑物体间的位置关系而不考虑它们的形状和大小。在拓扑学里，重要的拓扑性质包括连通性与紧致性 ——百度百科

拓扑学也被称为橡皮泥几何学 ，拓扑学不是很在意空间的距离或物体的长度，而是更重视空间的形态，比如在拓扑学家眼中，骰子和台球可以归类到一种物体，但是他们两个和面包圈却不是同一种物体，我们通过拉伸，挤压等“温和操作”，可以把骰子“捏”成台球，所以拓扑学认为他俩是一种东西，但是面包圈有一个洞，只有通过撕裂，钻孔，粘合等“暴力操作”，才能把没洞的台球变成有洞的面包圈，所以拓扑学认为他俩是两种东西。

因此只要是一个“胚子”捏出来的形状，在拓扑学中就是同一种东西，这种概念叫做同胚，也可以叫做拓扑等价。

两个物体是否同胚，要看在拓扑变换后，点、线、体的数目和原来是不是一样。一般来说，对于任意形状的闭曲面，只要不把曲面撕裂或割破，它的变换就可以算作是拓扑变换，变换后的各种形态都是拓扑等价的。

同胚的数学描述

同胚：\(\varphi：X→Y\)称为同胚的，若\(\varphi\)为双射，且\(\varphi\)连续，\(\varphi^{-1}\)连续。

先要搞清楚：

1. 什么是拓扑空间。
2. 什么是拓扑空间之间的连续映射。

同胚涉及了拓扑学的终极目标

哪些空间是一样的？即分类互不同胚的空间。

重要的方法：拓扑不变量（代数拓扑）来证明不同胚从而区分空间。可以是亏格，群，环 >拓扑不变量：设对任意空间\(X\)定义了一个量\(\mu(X)\)，若\(\mu\)满足：只要\(X\)与\(Y\)同胚，则\(\mu(X)=\mu(Y)\)，则称\(\mu\)为一个拓扑不变量。其中相等“=”可以换成同构。

e.g. 欧拉示性数（v-e+f）

拓扑不变量的常用方法是用其逆否命题，即拓扑不变量不等，二者不同胚。

另一类常见的问题是证明两个空间同胚，这个一般比较困难。