复变函数之复变函数微积分（微分篇） Mar 1, 2023 · 数学分析 复变函数 · 分享到: 复变函数微积分（微分篇） 复变函数的形式很特殊，定义的形式、性质都接近于一元实函数，但是函数的实部、虚部又可以分成两个二元实函数，因此一些二元函数的处理方式也可以应用到复函数中，一元复函数的许多性质证明也是利用二元实函数。同时，在复函数组成实部、虚部的两个二元实函数又不是独立的，尤其在复函数可微、可积时，它们又有着密切联系，如C-R方程、拉普拉斯方程等，我们利用这些关系可以得出一般二元实函数所没有的结论。 复变函数定义 复函数的基本性质 复函数极限 复函数连续性 复变函数的导数与微分 再看全纯函数（解析函数） 柯西-黎曼方程（C-R方程） 全纯函数（解析函数）与调和函数 初等复函数 基础：指数函数 对数函数 幂函数 三角函数 双曲函数 复变函数定义 复变函数： 设在复平面\(\mathbb{C}\)上有一点集\(E\)，如果对于\(E\)内每一点\(z\)值，都有一个或多个复数值\(w\)与之对应，则称\(w\)为\(z\)的复函数，记为\(w=f(z)\)，\(E\)为定义域，可表示为： \[\forall z\in E, \exist w = f(z)\tag{1}\] 和过去实函数的定义的有个区别，实函数中要求函数值只有一个，即单值函数，而复函数可以让一个自变量对应多个因变量，即多值函数。多值函数除了应用在在复变函数以外，还广泛应用于隐函数，特别地，不定积分也是常见的多值函数（后面会跟一个任意常数\(C\)）。 根据复函数可分为实部和虚部的特点，我们可以将其拆分为两个实二元函数，即 \[ \begin{aligned} z& = x + i y\\ w &= u + i v\\ w &= f(z) = f(x,y)\\ &=u(x,y)+iv(x,y) \end{aligned}\tag{2} \] 这样一元复函数就变成了两个二元实函数的有序组合。因此，我们可以同时用一元函数和二元函数的方式去研究复函数。由于复函数的这种复杂性，也很难用一幅函数图像完整地描述复函数。 目前大多数基础数学都是研究单复变函数，因为多复变函数的复杂性远远大于单复变函数，并且是20世纪重要的数学成就之一。本文默认所讨论的复变函数当时单复变函数。 复函数的基本性质 如果只看一元复函数，其性质和一元实函数很多是一样的，也有地方会有稍许区别。同时，由于一个复函数对应两个二元实函数的有序组合，因此他们之间也是有联系的。 复函数极限 极限： 设函数\(w=f(z)\)在\(z_0\)的去心邻域\(|z-z_0|<\rho\)内有定义，如存在复数\(A\neq \infty, \forall \varepsilon >0, \exist \delta>0\)使得当\(0<|z-z_0|<\delta\)，有\(|f(z)-A|<\varepsilon\)，则称\(A\)为函数\(w=f(z)\)当\(z\)趋向于\(z_0\)时的极限，记作\(\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)=A\)（极限存在不一定需要函数值在\(z_0\)有定义）。 从定义来看和一元实函数基本一样，不过需要强调，在一元实函数中，\(x\)只会从\(x_0\)正负两个方向趋近，在复函数中\(z\)趋向于\(z_0\)的方向是任意的。复函数极限的几何意义是当自变量\(z\)一旦进入\(z_0\)充分小的\(\delta\)邻域时，它的像点\(w=f(z)\)就落在\(A\)预先给带的\(\varepsilon\)邻域内。 ) 复函数极限的运算性质和一元实函数是一样的：当\(\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)=A, \lim\limits_{z\rightarrow z_0} g(z)=B\)时 \(\lim\limits_{z\rightarrow z_0}[f(z)\plusmn g(z)]=A\plusmn B\) \(\lim\limits_{z\rightarrow z_0}[f(z)\cdot g(z)]=A\cdot B\) \(\lim\limits_{z\rightarrow z_0}[f(z)/g(z)]=A/B, (B\neq 0)\) 由于一元复函数和两个二元实函数的对应关系，我们可以得到如下结论： 由于\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)，设\(A=u_0+iv_0,\ z_0=x_0+iy_0\)，则 \[\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)=A \Leftrightarrow \lim\limits_{x\rightarrow x_0\atop y\rightarrow y_0} u(x,y)=u_0,\ \lim\limits_{x\rightarrow x_0\atop y\rightarrow y_0} v(x,y)=v_0\tag{3}\] 从多元函数角度，也说明我们需要考虑所有趋近方向来证明极限的存在性。 复函数连续性 若\(\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)=f(z_0)\)，则称\(f(z)\)在\(z_0\)点连续。若\(f(z)\)在区域\(D\)内处处连续，则称函数\(f(z)\)在\(D\)内连续。 连续三要素：\(f(z_0)\)存在、\(\lim\limits_{z\rightarrow z_0} f(z)\)存在、二者相等。就是通常所说的当自变量充分靠近时，函数值充分靠近。从定义来看，复函数的连续也和一元实函数定义是一样的。 复函数连续的运算性质也和一元实函数一致： 在\(z_0\)连续的两个函数\(f(z),\ g(z)\)的和、差、积、商在\(z_0\)处连续。 如果函数\(\xi=g(z)\)在点\(z_0\)处连续，函数\(f(\xi)\)在\(\xi_0=g(z_0)\)处连续，则复合函数\(w=f(g(z))\)在\(z_0\)处连续。 如果函数\(f(z)\)在有界闭区域\(\bar{D}\)上连续，则： \(|f(z)|\)在\(\bar{D}\)上必有界。 \(|f(z)|\)在\(\bar{D}\)上必能取到最大、最小值。 \(|f(z)|\)在\(\bar{D}\)上必一致连续。 当考虑到复函数与两个二元函数的关系，我们还有以下性质： 复函数\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在\(z_0=x_0+iy_0\)点连续\(\Leftrightarrow u(x,y),\ v(x,y)\)在点\((x_0,y_0)\)点连续。 复变函数的导数与微分 如果要问复分析研究的核心问题，纯函数和亚纯函数应该算是其中之一。维基百科上说：“复分析（英语：Complex analysis）是研究复变的函数，特别是亚纯函数和复变解析函数（全纯函数）的数学理论。”而这两种函数都需要一个概念就是复函数的微分。接下来我们也会说明，当复函数可微时，其实部函数\(u(x,y)\)和虚部函数\(v(x,y)\)也会有很强的关联性。 我们先来看看什么是全纯函数、半纯函数。 全纯函数（holomorphic function）:定义在复平面\(\mathbb{C}\)的开子集上的，在复平面\(\mathbb{C}\)中取值的，在每点上皆可微的函数。复变函数中全纯函数也叫解析函数。 下文中默认解析和全纯是同义词，不过对于函数的某点\(z_0\)，我们习惯用“解析性”一词来讨论点的微分性质。 亚纯函数（meromorphic function）:一个复平面的开子集\(D\)上的亚纯函数是一个在\(D\)上除一个或若干个孤点集合之外的区域全纯的函数，那些孤立点称为该函数的极点或奇点。 从定义中可以看出，这个函数“纯不纯”得看它可不可微。而复函数的可微就很微妙。 首先，一元复函数和一元实函数一样，可微\(\Leftrightarrow\)可导。不过，复函数可微，可导不像一元实函数可微那么容易，需要从二元函数的角度考虑极限趋近的方向，此外实部和虚部两个二元函数间还必须满足特定关系，复函数才能可微、可导。因此，一元复函数可微、可导是比一元实函数可微，甚至多元实函数可微强得多的条件。 一元复函数导数的定义和一元实函数是类似的： 设复函数\(w=f(z)\)定义于区域\(D\)，在\(z_0\in D\)的某邻域内\(z_0+\Delta z\)有定义，如果 \[\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=\lim_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}\tag{4}\] 存在，则称\(f(z)\)在\(z_0\)处可导，该极限值为点\(z_0\)处的导数，记为\(f'(z_0)\)或\(\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}|_{z=z_0}\)。如果函数\(f(z)\)在\(D\)内的每一点都可导，则称\(f(z)\)在\(D\)内可导，此时即得\(f(z)\)的导函数\(f'(z)\)。 可见一元复函数导数的定义和一元实函数是类似，只不过求极限时方向不止正负方向，而是任意方向。类似地，我们可以通过和一元实函数相同的方法得到复函数微分。 根据极限定义，当导数存在时，式（4）可以改写成： \[ \lim_{\Delta{z}\rightarrow 0} \Delta w = f'(z_0)\Delta z + o(\Delta z)\tag{5} \] 这样函数的增量\(\Delta w\)就表示成了自变量线性增量和自变量的高阶无穷小两部分，而这也恰恰是微分的定义。 设函数\(w=f(z)\)定义于区域\(D\)，在\(z_0\in D\)的某邻域内\(z_0+\Delta z\)有定义，对于邻域内任一点，如果存在\(A\)，使得 \[\Delta w = f(z+\Delta z)-f(z)=A\Delta(z)+o(\Delta z)\tag{6}\] 则称\(f(z)\)在\(z_0\)处可微，\(A\Delta z\)为微分，记作\(\mathrm{d}w = A\mathrm{d}z\)。如果函数\(f(z)\)在\(D\)内的每一点都可微，则称\(f(z)\)在\(D\)内可微。 复函数导数侧重反映函数的“变化率”；而微分更能体现“以直代曲”的逼近思想。当\(\Delta z\)充分小时，两种思想是共同的。从上面也不难发现，对于一元复函数，可导可微互为充要条件。 可导\(\Leftrightarrow\) 可微，即\(\mathrm{d}w=f'(z)\mathrm{d}z,\ f'(z)=\frac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}z}\) 简要证明如下： 可导\(\Rightarrow\) 可微。可导\(\Rightarrow \lim\limits_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=f'(z) \Rightarrow \Delta w = f'(z_0)\Delta z + o(\Delta z)\Rightarrow\)可微 可导\(\Leftarrow\) 可微。可微\(\Rightarrow \Delta w = A\Delta z + o(\Delta z) \Rightarrow \frac{\Delta w}{\Delta z}=A+\frac{o(\Delta z)}{\Delta z} \Rightarrow \lim\limits_{\Delta z\rightarrow 0}\frac{\Delta w}{\Delta z}=A=f'(z)\Rightarrow\)可导。 综合前面函数连续的内容，我们可以得出一个和一元实函数一样的关系： 可微\(\Leftrightarrow\)可导\(\Rightarrow\)连续\(\Rightarrow\)有极限 此外，通过定义可证明复函数求导、微分的法则也和一元实函数一样： 四则运算法则。 \([f(z)\plusmn g(z)]'=f'(z)\plusmn g'(z)\) \([f(z)g(z)]'=f'(z)g(z)+f(z)g'(z)\) \([\frac{f(z)}{g(z)}]'=\frac{f'(z)g(z)-f(z)g'(z)}{g^2(z)},g(z)\neq 0\) 复合函数求导法则：\([f(g(z))]'=f'(g(z))g'(z)\) 反函数求导法则（注意只针对单值函数）：\(\varphi'(w)=\frac{1}{f'(z)},\ z=\varphi(w),\ w=f(z)\) 再看全纯函数（解析函数） 我们再回看全纯函数和可导的关系，对于某一点\(z_0\)而言，全纯要求函数\(f(z)\)在\(z_0\)及其邻域内都可微，不仅仅是那一个点，因此对于某个点而言，点解析的要求比点可导要更强： \[ 点解析\Rightarrow 点可导/可微 \] 举个例子：\(f(z)=|z|^2\)，该函数仅在\(z=0\)处可导（其他位置都不可导），但是不解析。 当我们考虑一个区域\(D\)时，点和周围的邻域一直都是被一起考虑的，因此对区域\(D\)来说，解析和可导/可微是等价的。 \[ 区域解析\Leftrightarrow 区域可导/可微 \] 解析函数的性质和导数性质也是类似的： 在区域\(D\)内解析的两个函数\(f(z),\ g(z)\)的和、差、积、商（除去分母为0的点）在\(D\)内解析。 推论：多项式复函数都是解析的（全纯函数）；有理式复函数在分母不为0的点也是解析的（半纯函数）； 复合函数在对应的解析区域内也解析。 现在这么一看，一元复函数和一元实函数的微分性质似乎是完全一样，那么就没有必要特地研究复函数了。实际上，复函数可微的要求是比一元函数严格的多的，这个严格的体现就是：全纯函数从各个方向求极限得到的导数都一致。只有在这个大前提下，复函数才能有类似于一元实函数的简单性质。 柯西-黎曼方程（C-R方程） 前文说过，复函数解析要求点及邻域从各个方向求极限得到的导数都一致，这很容易让我们想到多元函数导数中的方向导数。不过，相较于一个二元实函数，我们已经指出复函数对应的是两个二元实函数的有序对。因此，复函数可导不仅要求实部、虚部两个二元函数各自从各个方向的方向导数一致，还要求两个函数之间满足特殊的关系，这就是柯西-黎曼方程。 柯西-黎曼方程体现的是复函数\(f(z)\)的实部二元函数\(u(x,y)\)与虚部二元函数\(v(x,y)\)之间的关系。从复函数可导推出柯西-黎曼方程是很容易的。由于复函数可导，可知： \[ f'(z)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0\atop \Delta y\rightarrow 0}\frac{\Delta u +i\Delta v}{\Delta x +i\Delta y}\tag{7} \] 函数在\(z\)点可导，就意味着\(∆z = ∆x + i∆y\)以任意方式趋向于零，上式右边的极限都趋于同样的有限值，即该点导数值\(f'(z)\)。在\(z\)平面上有无限条线路使\(∆z\rightarrow 0\), 我们选取如下两条路线： 柯西-黎曼方程推导 \(∆x\rightarrow 0\)但\(∆y = 0\)，\(f'(z)=\lim\limits_{∆x\rightarrow 0\atop ∆y = 0}\frac{∆u+i∆v}{∆x} = \frac{\partial u}{\partial x}+i\frac{\partial v}{\partial x}\) \(∆y\rightarrow 0\)但\(∆x = 0\)，\(f'(z)=\lim\limits_{∆y\rightarrow 0\atop ∆x = 0}\frac{∆u+i∆v}{i∆y} = \frac{\partial v}{\partial y}-i\frac{\partial u}{\partial y}\) 联立上方两个石子，且要求实部与虚部相等，有： \[ \frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} \tag{8} \] 即为柯西-黎曼方程，简称C-R方程。可见，并不是任意两个二元实函数组成一对的复函数都是可导的，他们之间至少得满足C-R方程（必要条件）。根据C-R方程，我们也能得出，一旦复函数是个解析函数，其实部（虚部）一旦给定，则虚部（实部）也基本确定。为什么说是基本确定呢？后面我们谈到调和函数的时候在细说。 \[ u(x,y) = \int \frac{\partial v}{\partial y} \mathrm{d}x = \int -\frac{\partial v}{\partial x} \mathrm{d}y\\ v(x,y) = \int \frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{d}y = \int -\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{d}x\tag{9} \] 如果想要让C-R方程变成可导的充分条件，还需要加上什么要求呢？很简单，再要求\(u(x,y),\ v(x,y)\)可微即可。 点可导充要条件：函数\(w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在点\(z=x+iy\)处可导的充要条件是：\(u(x,y)\)和\(v(x,y)\)在点\((x,y)\)处可微且满足柯西-黎曼方程。 区域解析（可导）的充要条件：函数\(w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在区域\(D\)内解析的充要条件是：\(u(x,y)\)和\(v(x,y)\)在区域\(D\)内可微且满足柯西-黎曼方程。区域可导和区域解析互为充要条件。 上面定理的必要性是显然的。简要证明如下。 证明：首先C-R方程就是从可微复函数两个方向求方向导数得出来的，其次，复函数可微说明它可以写成\(\Delta w = A \Delta z + o(\Delta z)\)的形式，其中自变量和因变量的增量分别可以表示成实部与虚部的组合\(\Delta w = \Delta u + i \Delta v, \Delta z = \Delta x + i\Delta y\)。重要的是系数\(A=f'(z)\)是个固定的复数，即\(A=a+ib\)。将它们分别带入就可得： \[ \Delta u + i \Delta v = (a+ib)(\Delta x + i\Delta y) + o(\Delta z)\\ \begin{cases} \Delta u = a\Delta x - b \Delta y + o(\Delta z)\\ \Delta v = a\Delta y + b \Delta x + o(\Delta z) \end{cases}\tag{10} \] 式(10)正是二元函数\(u(x,y),v(x,y)\)的微分形式。必要性得证。 我们下面只要证明充分性，即C-R方程+两个部分的二元函数可微\(\Rightarrow\) 复函数可导。我们以点可导为例，区域可导的思路是一样的。 证明：\(u(x,y),\ v(x,y)\)在\((x,y)\)可微则有： \[ \begin{cases} \Delta u = \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial u}{\partial y} \Delta y + o(\Delta z)\\ \Delta v = \frac{\partial v}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial v}{\partial y} \Delta y + o(\Delta z) \end{cases} \] 根据C-R方程，我们可以将上面的\(\frac{\partial u}{\partial y}\)替换成\(-\frac{\partial v}{\partial x}\)，\(\frac{\partial v}{\partial y}\)替换成\(\frac{\partial v}{\partial u}\)，则有 \[ \begin{cases} \Delta u = \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x {\color{Red}{- \frac{\partial v}{\partial x}}} \Delta y + o(\Delta z)\\ \Delta v = \frac{\partial v}{\partial x} \Delta x + {\color{Red}{\frac{\partial u}{\partial x}}} \Delta y + o(\Delta z) \end{cases}\\ \Rightarrow \Delta u + i\Delta v = \frac{\partial u}{\partial x} \Delta x - \frac{\partial v}{\partial x} \Delta y + i\frac{\partial v}{\partial x} \Delta x+ i\frac{\partial u}{\partial x} \Delta y + o(\Delta z)\\ =\underbrace{(\frac{\partial u}{\partial x}+ i\frac{\partial v}{\partial x})}_{A}\underbrace{(\Delta x + i\Delta y)}_{\Delta z} + o(\Delta z)\\ =A\Delta z + o(\Delta z) \] 上式即为原复函数的微分形式。因此复函数在点\(z\)处可导。 在多元函数微分中，还有这样一个关系：一阶偏导数存在且连续则函数可微，我们同样可以将其应用到复函数可微中，替换实部、虚部的可微要求。（注意一阶偏导数连续是个更强的条件，不是充要条件）。从而有如下推论： 推论：若函数\(f(z) = u(x, y) + iv(x, y)\)在\(z\)点满足C-R方程，且函数的四个一阶偏导数\(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y},\frac{\partial v}{\partial x},\frac{\partial v}{\partial y}\)在\(z\)点连续，则函数在\(z\)点可导。 反之并不成立，原因在于可微不能推出偏导数连续。 全纯函数（解析函数）与调和函数 解析函数实部和虚部的还不仅是C-R方程的关系，其自身也得满足拉普拉斯方程。 拉普拉斯方程：若二元实函数\(\varphi(x,y)\)在区域\(D\)内可微且有二阶偏导数，且有 \[ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} =0\tag{11}\] 则称\(\varphi(x,y)\)满足拉普拉斯方程。 满足拉普拉斯方程的二元函数\(\varphi(x,y)\)为区域\(D\)内的调和函数。 若二阶偏导数不为0，而是\(f(x,y)\)，即 \[ \frac{\partial^2 \varphi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \varphi}{\partial y^2} = f(x,y)\tag{12} \] 则被称为泊松方程。 那么解析函数和调和函数有什么关系呢？调和函数研究的二元实函数，我们可以尝试对复函数的实部、虚部求二阶偏导数。 由C-R方程可知，其一阶偏导数有式（8）的关系，那么我们对其再求偏导有： \[ \left . \begin{aligned}\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y}\overset{\frac{\partial}{\partial x}}{\Rightarrow}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 v}{\partial y\partial x} \\ \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x}\overset{\frac{\partial}{\partial y}}{\Rightarrow} \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = -\frac{\partial^2 v}{\partial x\partial y}\end{aligned} \right\}\overset{+}{\Rightarrow} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0 \] 同理，有\(\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 v}{\partial y^2} = 0\)。由上我们可以得出以下定理： 若函数\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在区域\(D\)内解析，则\(u(x,y),v(x,y)\)在区域\(D\)内都是调和函数。 对于同属于一个解析复函数的实部和虚部都是调和函数，我们将虚部的调和函数\(v\)称为实部\(u\)的共轭调和函数。对应的，一对共轭调和函数可以确定一解析复函数\(f(z)\)，我们可以将其写成如下定理： 复变函数\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在区域\(D\)内解析的充要条件是：在区域\(D\)内，\(f(z)\)的虚部\(v(x,y)\)是实部\(u(x,y)\)的共轭调和函数， 需要注意的是，\(v\)是\(u\)的共轭调和函数，并不意味着\(u\)也是\(v\)的共轭调和函数！不具有对称性。 还记得我们在柯西-黎曼方程（C-R方程）那一节说过：“一旦复函数是个解析函数，其实部（虚部）一旦给定，则虚部（实部）也基本确定”。这种确定性，就是C-R方程和调和函数所共同确定的。此时，对于一个解析复函数，我们已知实部\(u\)，能求虚部\(v\)( 或者已知虚部\(v\)，求实部\(u\))。起主要作用的是C-R方程，调和函数要求起辅助作用，具体方法主流的有两种：偏积分法和全微分法。不过本文在这里不对这些方法做具体说明了。 初等复函数 复变函数中的初等函数是实数域中初等函数的推广（复平面的解析延拓），它们的定义方式尽可能保持一致，特别是当自变量取实值时，两者是一样的。同时实函数过去一些无法进行的操作，比如对负数求对数，在复数域也是可以的。 基础：指数函数 对于复数\(z=x+iy\)，其以\(e\)为底的指数函数为\(w=e^z=\exp z = e^x(\cos y + i\sin y)\)。 从现在的角度来看，将复指数函数\(f(z)=e^z,\ z\in\mathbb{C}\)是实函数\(f(x)=e^x,\ x\in\R\)的简单延拓是很正常的，不过在复数函数发展过程中并非如此，开始时，复指数函数是通过\(w=e^x(\cos y + i\sin y)\)来定义的。因为虚数诞生的时候，数学家还是倾向是将实部和虚部分开考虑，后来欧拉在棣莫佛的研究上通过对比函数的无穷级数，发现了欧拉公式\(e^{iy}=\cos y + i\sin y\)才将\(e^x(\cos y + i\sin y)\)统合成了\(e^{x+iy}=e^z\)。指数函数是初等函数中最重要的函数，其余的初等函数都通过指数函数来定义。 由定义我们可以获得以下结论（下面的结论不是平凡的，需要证明，虽然不难）： \(|e^z|=e^x|e^{iy}|=e^x|\cos y + i\sin y|=e^x\) \(Arg e^z = y+2k\pi\) \(e^z\)为单值函数，区别于后面的复对数函数 \(e^z \neq 0\)，因为\(e^x>0,\ \cos y +i\sin y \neq 0\) \(e^z\)在复平面上处处解析，且导数\((e^z)'=e^z\)。 \(e^{z_1}e^{z_2}=e^{z_1+z_2}\) \(e^z\)是以\(2k\pi i\)为周期的周期函数。 对数函数 \(e^w = z\)则称\(w\)为\(z\)的对数函数，记为\(w=Ln(z)\) 复对数函数是用复指数函数来定义的（注意\(Ln\)首字母是大写的用来区别于实函数\(\ln\)，此外\(Ln\)并不是以\(e\)为底的意思，只是一个记号），与实函数一样，复对数函数也是复指数函数的反函数。 那我们如何根据这个定义实际计算复对数函数呢？同样也是利用指数函数。设\(z=re^{i\theta},\ w=u_iv\)，那么根据复对数函数定义有\(e^w=e^u e^{iv}=re^{i\theta+2k\pi}\)。由此，我们可以算出： \[ u=\ln r\\ v = \theta+2k\pi \] 因为指数函数具有周期性，导致辐角的值不止一个，所以复对数函数是一个多值函数，即 \[ w=Ln(z)=\ln r+i(\theta+2k\pi)\\ w=Ln(z)=\ln(z)+i(Arg(z)+2k\pi)\tag{13} \] 复对数函数的多值性显然是由虚部（辐角的周期性）引起的，对于每一个给定的\(k\)，\(w_k\)就成了单值函数，称为\(Ln(z)\)的一个分支，其中辐角取主值(k=0)的那一支称为主枝，也记为\(\ln z\)。 例如： \(Ln(1+i)=\ln|(1+i)|+iArg(1+i)+2k\pi i=\ln \sqrt{2}+i(\arctan 1 + 2k\pi)=\ln \sqrt{2}+i(\pi/4 + 2k\pi)\)，主值为\(\ln \sqrt{2}+i\pi/4\)。 \(Ln(-1)=\ln |-1| +iArg(-1)+2k{\pi}i= 0 + i(\arctan -1+ 2k\pi)=i(\pi+2k\pi)\)，主值为\(i\pi\)。可见，在复数域内，负实数是可以求对数的。 复对数函数的性质有以下几个主要点： 由于\(Arg(z)\)在原点无定义（且\(e^w\neq 0\)），因此\(Ln\ z\)也在原点无定义。 由于复数定义问题，我们要求辐角\(-\pi<0<\pi\)，因此\(Arg(z)\)在负实数轴是不连续的，即从顺时针方向趋近于负实轴为\(-\pi\)，从逆时针方向趋近于负实轴为\(+\pi\)，中间有\(2\pi\)的跳跃，这导致\(Ln\ z\)的各分支在负实轴(以及原点)也是不连续的，其他位置连续。 算是性质2的推论：\(Ln\ z\)的各分支在除去原点及负实轴的复平面内解析。其导数为\((Ln\ z)'=1/z\)，和实函数一样。 在集合意义上：\(Ln(z_1z_2)=Ln(z_1)+Ln(z_2),\ Ln(z_1/z_2)=Ln(z_1)-Ln(z_2)\)。但是\(Ln(z^n)\neq nLn\ z\)，\(Ln(z^n)\)的周期已经和\(Ln(z)\)不同了！ 最后我们了解下指数函数与对数函数的关系，在实函数中，它们互为反函数，但是在； 复数域，一个是单值函数，一个是多值函数。对数函数会将自变量映射到各个分支，每个分支周期性地相等。如果我们将对数函数的值域限定在一个分支以内，二者还是反函数关系的。 复指数函数与复对数函数关系.png 幂函数 幂函数可以通过指数函数与对数函数的复合来定义。 函数\(w=z^\alpha\)，规定\(z^\alpha = e^{\alpha Ln(z)},\ \alpha\in\mathbb{C},\ z\neq 0\)，称为复变量\(z\)的幂函数。此外，我们规定\(z^0=1\)。 由于\(Ln\)的存在，幂函数也是多值函数。幂函数特性与\(\alpha\)的取值相关。 当\(\alpha\)为正整数\(n\)时，\(w= z^n = e^{n Ln z}=e^{n(\ln |z|+iArg(z)+i2k\pi)}\)由于复指数函数以\(2k\pi\)为周期，当\(n\)为正整数时有\(e^{n(\ln |z|+iArg(z)+i2k\pi)}=e^{n(\ln |z|+iArg(z))}=e^{n\ln z}\)。此时多值性消除，幂函数为单值函数，且处处解析，导数为\((z^n)'=nz^{n-1}\)。 当\(\alpha\)为负整数\(-n\)时，同理可得其也是单值函数，且在原点外处处解析，且导数为\((z^-n)'=-nz^{-n-1}\) 当\(\alpha\)为有理数时，即\(\alpha = p/q, \ p,q\)互质。由于\(Ln\)的存在，幂函数是多值函数，有\(q\)个值（\(q\)个分支）。解析域受到\(Ln\)函数限制，在除原点和负实轴外处处解析，导数为\((z^\alpha)'=\alpha z^{\alpha-1}\) 当\(为无理数或复数时，一般为无穷多值，解析域受到\)Ln$函数限制，在除原点和负实轴外处处解析。 举几个例子： \[2^i=e^{i Ln(2)}=e^{i(\ln 2 + 2k\pi i)}=e^{-2k\pi}e^{i\ln 2}\\ =e^{-2k\pi}(\cos\ln 2+i\sin\ln 2),\ k\in Z\] 显然上式有无数个值。 \[ i^i = e^{i Ln i}=e^{i\times i(\pi/2+2k\pi)}=e^{-\pi/2-2k\pi},\ k\in Z \] 可见\(i^i\)是正实数，主值为\(e^{-\pi/2}\)。 \[ 1^{\sqrt{2}}=e^{\sqrt{2}Ln(1)}=e^{\sqrt{2}\times 2k\pi i}=e^{2\sqrt{2}k\pi i} \] 可见，不要想当然地认为1的任意次幂都是1，仅限于有理数次幂才成立。 三角函数 三角函数和欧拉公式密不可分，我们可以通过欧拉公式使用指数函数的形式来定义三角函数。 根据欧拉公式有\(e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta,\ e^{-i\theta}=\cos\theta-i\sin\theta\)可推得： \[ \cos z = \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\\ \sin z = \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\] 由此\(\cos z\)和\(\sin z\)我们可以定义出其他三角函数 \[ \tan z =\frac{\sin z}{\cos z},\ \cot z = \frac{\cos z}{\sin z} \\ \sec z = {1\over\cos z},\ \csc z={1\over \sin z}\] 三角函数的性质和实函数许多是一样的，但是有一点区别很大。 根据欧拉公式中的指数函数可知，复三角函数不再是有界函数，即\(|\sin x|≤1,\ |\cos x|≤1,x\in\R\)，三角函数值可以随之实部变得无穷大。 \(\sin z,\ \cos z\)在复平面处处解析。\((\sin z)'=\cos z;\ (\cos z)'=-\sin z\)。 三角函数周期性、可导性、奇偶性、零点与实函数一样。 各种三角公式可以照搬。 反三角函数可以通过欧拉公式推导出，也是多值函数。 双曲函数 和三角函数一样，也可通过欧拉公式推的。 双曲正弦函数\(\sh z =\frac{1}{2}(e^z-e^{-z})\)；反双曲正弦函数\(\mathrm{Arsh} z=\mathrm{Ln}(z+\sqrt{z^2+1})\) 双曲余弦函数\(\ch z =\frac{1}{2}(e^z+e^{-z})\)；反双曲余弦函数\(\mathrm{Arch} z=\mathrm{Ln}(z+\sqrt{z^2-1})\) 双曲正切函数\(\th z = \frac{\sh z}{\ch z}\)；反双曲正切函数\(\mathrm{Arth} z=\frac{1}{2}\mathrm{Ln}\frac{1+z}{1-z}\) 双曲余切函数\(\coth z = \frac{\ch z}{\sh z}\)。 双曲正弦、双曲余弦在复平面显然处处解析，曲正切函数在除去\(z=i(k\pi+\frac{\pi}{2})\)外处处解析。 在复分析中，双曲函数对复数映射是非常常用的，需要的时候可以在查询。