优化理论之-凸优化-拟凸函数

拟凸函数

• 下水平集与上水平集
• 拟凸函数引入
• 拟凸函数与凸函数联系
• 扩展：拟凹函数，拟线性函数
• 拟凸函数与Jensen不等式
• 拟凸优化问题

我也有全局最小值呦~~

下水平集与上水平集

\(\alpha-\)下水平集(sub-level set)：\(f:R^n→R, C_\alpha-=\{x|x\in \mathop{dom}f \cap f(x)\leq \alpha\}\)

\(\alpha-\)上水平集(super-level set)：\(f:R^n→R, S_\alpha=\{x|x\in \mathop{dom}f \cap f(x)\geq \alpha\}\)

如果函数\(f\)是凸函数，则\(f\)的\(\alpha-\)下水平集是凸集。对应的，如果函数\(f\)是凹函数，则\(f\)的\(\alpha-\)上水平集是凸集。

逆命题不成立，例如：\(f(x)=-e^x\)的\(\alpha-\)下水平集是凸集，但是\(f(x)=-e^x\)是凹函数。

拟凸函数引入

标准定义（定义1）\(f:R^n→R, \mathop{dom}f\)是凸集，\(\alpha-\)下水平集是凸集，则\(f(x)\)为拟凸函数。即 \[f:R^n→R,s.t.\, S_\alpha=\{x\in \mathop{dom} f| f(x)\geq \alpha\}为凸集\]

解释:对于任意的\(\alpha\)一下的值(像),其对应的原像集合都是凸集。根据第一节中的例子，我们发现凹函数也可能是拟凸的。

观察上图二维图像：

1. \(f(x)\)既不是非增也不是非减
2. 有全局最小值时（可能是点也可能是集合），左侧非增，右侧非减。

拟凸函数与凸函数联系

凸函数\(\Rightarrow\)拟凸函数

拟凸函数不一定是凸函数，甚至可能是凹函数。

扩展：拟凹函数，拟线性函数

\(f\)是拟凸函数，我们称\(-f\)为拟凹函数,拟凹函数的\(\alpha-\)上水平集是凸集。

拟线性函数：既是拟凸也是拟凹。等同于\(f:R^n→R,s.t.\, S_\alpha=\{x\in \mathop{dom} f| f(x)=\alpha\}为凸集\)（类似线性函数是既凸又凹）

一般情况下，拟线性函数是一个非增或非减函数。

拟凸函数与Jensen不等式

拟凸优化问题